式による証明問題を解くための基本【式による証明問題（基本）】ｎを整数として、次の数を式で表せ。（１）奇数、（２）７の倍数、（３）連続する３つの整数式による証明問題を解くためには、まず数の表し方を覚えなければなりません。基本的なものから覚えていきましょう。ｎを整数として数を文字式で表す一番カンタンなのは偶数。偶数とは、２，４，６，８，１０…のことですよね。偶数の共通点は２で割り切れること。２で割り切れるというのは、２の倍数になっているということです。このため、ある整数「ｎ」を２倍したものは、必ず偶数になります。「整数」が何を指すのかを忘れちゃった人は復習。【ポイント整理】整数とは、−２，−１，０，１，２…のこと。小数や分数は整数には含まれない。正の整数（１，２，３…）のことを自然数と呼ぶ。ある整数「ｎ」を２倍したものを文字式で表すと「２ｎ」。これが偶数になります。偶数がわかれれば奇数はカンタンです。奇数とは、１，３，５，７，９…のこと。偶数との関係に注目すると、偶数から１を引いたものが奇数となります。これを式で表すと、「２ｎ−１」。奇数は「２ｎ−１」となります。ある数の倍数は？偶数のところで、ある整数「ｎ」を２倍したものを文字式で表すと「２ｎ」と出てきましたね。ある数の倍数の表し方はコレ。３の倍数なら「３ｎ」。４の倍数なら「４ｎ」。５の倍数なら「５ｎ」。となります。連続する整数連続する整数の表し方は、整数の性質に気がつけばカンタンです。整数は「１」ずつ増えていきます。「ｎ」の次は「ｎ＋１」、その次は「ｎ＋１＋１」＝「ｎ＋２」。これが連続する整数の表し方です。式による証明問題（基本）の解答（１）奇数…２ｎ−１（２）７の倍数…７ｎ（３）連続する３つの整数…ｎ、ｎ＋１、ｎ＋２

式による証明（連続する数）【式による証明問題（連続する数）】連続する３つの整数の和は３の倍数となることを文字式を使って証明せよ。「証明せよ」と言われても何をどうすれば…ですよね。ただ、中学数学で出題される証明問題は、パターンさえ覚えてしまえばカンタンです。「連続する数の和が…」というのは文字式による証明の定番問題です。解き方を覚えておきましょう。連続する数の和の証明問題の解き方問題文に文字式を使って証明せよとあるので、まずは問題文を文字式に変換します。最初に「連続する３つの整数」を文字式にします。整数とは「１」ずつ増えていく数のことです。「ｎ」を整数とすると、次の整数は「ｎ＋１」、その次は「ｎ＋２」となります。連続する３つの整数とは、「ｎ」「ｎ＋１」「ｎ＋２」となります。【なぜ「ｎ」を使うのか気になった人は…】いきなり「ｎ」が出てきたことに疑問を持つ人もいるかもしれません。「ｘ」とか［ａ」じゃなくて「ｎ」の理由は？と。この「ｎ」にはあまり深い意味はありません。この場合は「ｎ」を使うとなんとなく覚えておけばＯＫ。数学で細かいことを気にしすぎてしまうと深みにはまることになるので、スッと受け入れておきましょう。連続する３つの整数の和は…連続する３つの整数を文字式で表すことができたら、次はその和も文字式にします。「ｎ」＋「ｎ＋１」＋「ｎ＋２」これが連続する３つの整数の和を文字式で表したものです。この文字式をまとめると次のようになります。ｎ＋ｎ＋１＋ｎ＋２＝３ｎ＋３３の倍数とは３の倍数とは、３で割り切れる数のことです。「ｎ」を整数として、「３ｎ＋３」で表せる数は３で割り切れますよね。ここまでをまとめれば答えとなります。式による証明問題（連続する数）の答えｎを整数とすると、連続する３つの整数は、ｎ、ｎ＋１、ｎ＋２と表せる。この３つの整数の和は、ｎ＋ｎ＋１＋ｎ＋２＝３ｎ＋３となる。ｎは整数なので、３ｎ＋３は３の倍数である。よって、連続する３つの整数の和は３の倍数となる。別解連続する３つの整数をｎ−１、ｎ、ｎ＋１としても正解です。この場合、３つの整数の和は、ｎ−１＋ｎ＋ｎ＋１＝３ｎとなります。ｎは整数なので、３ｎは３の倍数となります。

式による証明（２ケタの自然数）【式による証明問題（２ケタの自然数）】２ケタの自然数と、その自然数の十の位と一の位の数を入れかえた自然数の和が１１の倍数となることを証明せよ。ただし、最初の自然数の一の位は「０（ゼロ）」以外とする。文字式による証明問題では２ケタの自然数に関する問題も定番です。問題文の意味を確認問題文の意味は分かりますか？具体的な数字で考えてみましょう。例えば、２ケタの自然数を「７６」とすると、その自然数の十の位と一の位の数を入れかえた自然数とは「７」と「６」を入れかえた「６７」のこと。その和とは、７６＋６７のこと。これが１１の倍数になるというわけです。７６＋６７＝１４３です。１４３＝１１×１３で１１の倍数となっています。７６以外の数字でも、常に１１の倍数となることを証明せよという問題です。まずは、２ケタの自然数の表し方から考えます。２ケタの自然数を文字式で表すと十の位の数を「ａ」、一の位の数を「ｂ」とすると、２ケタの自然数は「１０ａ＋ｂ」となります。具体的な数で確認しましょう。４９で考えてみます。十の位の数は「４」、一の位の数は「９」です。４×１０＋９＝４９ですよね。十の位の数に１０を掛けたものに、一の位の数を足すだけです。十の位と一の位の数を入れかえた自然数問題文には「十の位と一の位の数を入れかえた自然数」が出てきます。これも文字式で表します。最初の２ケタの自然数を「１０ａ＋ｂ」とするなら、十の位と一の位の数を入れかえた自然数は「１０ｂ＋ａ」となります。これで２つの自然数が文字式になりました。２つの自然数の和は２ケタの自然数…「１０ａ＋ｂ」、十の位と一の位の数を入れかえた自然数…「１０ｂ＋ａ」から２つの自然数の和は次のようになります。【２つの自然数の和】「１０ａ＋ｂ」＋「１０ｂ＋ａ」この式を整理すると、【２つの自然数の和】「１０ａ＋ｂ」＋「１０ｂ＋ａ」＝１１ａ＋１１ｂ「１１」がａとｂに共通しているのでカッコでくくると、１１（ａ＋ｂ）（ａ＋ｂ）は整数なので、１１の倍数となるというわけです。２つの数字の差ちなみに、これ例題が２つの数字の差となった場合は、９の倍数となります。【２つの自然数の差】「１０ａ＋ｂ」−「１０ｂ＋ａ」この式を整理すると、【２つの自然数の差】「１０ａ＋ｂ」−「１０ｂ＋ａ」＝９ａ＋９ｂあとの考え方は「１１」のときと同じです。あわせて覚えておきましょう。

連立方程式（値段）【連立方程式の定番問題（値段）】リンゴ３個とみかん７個を買うと合計金額は９２０円で、リンゴ５個とみかん３個を買うと合計金額は８４０円でした。リンゴ１個、みかん１個のそれぞれの値段を求めよ（消費税は考量しなくて良い）。連立方程式の文章題で最初に出てくるのが値段に関する問題です。問題文を式にできれば、解くのはそれほど難しくありません。順番に考えていきましょう。求めるものをｘ、ｙとする文章題で最初に確認すべきなのは、何を求めなければならないかです。日本語の文章では後ろのほうに来ることが多いので、前にある文に紛らわされないようにしましょう。引っかけ問題は、そうしたところを狙ってきます。この問題で求めなければならないのは「リンゴ１個、みかん１個のそれぞれの値段」です。求めるものが２つあるということから連立方程式の問題だなと推測できます。連立方程式の問題では求めるものを「ｘ」と「ｙ」とします。（別に「ａ」と「ｂ」でもイイのですが、数学的なセンスでは「ｘ」と「ｙ」すると覚えておきましょう。）ｘ…リンゴ１個の値段ｙ…みかん１個の値段問題文を式で表すこの「ｘ」と「ｙ」を使って問題文を式に直します。ここが方程式の文章題のポイントです。「リンゴ３個とみかん７個を買うと合計金額は９２０円」を式にすることを考えます。リンゴ１個の値段が「ｘ」なので、３個の値段は３倍した「３ｘ」です。同じように、みかん７個の値段は「７ｙ」となります。これを足した合計が９２０円というわけです。３ｘ＋７ｙ＝９２０連立方程式を解くには、もうひとつ式が必要です。それ用の文章がちゃんと問題文には用意されています」。「リンゴ５個とみかん３個を買うと合計金額は８４０円」がそれです。これを上記と同じ考え方で式にします。５ｘ＋３ｙ＝８４０あとは上記の連立方程式を解くだけ。３ｘ＋７ｙ＝９２０５ｘ＋３ｙ＝８４０ｘ＝１２０、ｙ＝８０となります（ここでは文章題の解き方を覚えることがメインなので、無理して自分で計算してみる必要はありません）。答え．リンゴ１個は１２０円、みかん１個は８０円

連立方程式（速さ）【連立方程式の定番問題（速さ）】家から１．８ｋｍ離れた駅に行くのに、最新の雑誌を買うために途中にある本屋に寄りました。家から本屋までは分速６０ｍの速さで歩き、雑誌を買うために本屋に２分３０秒いました。本屋から駅までは少し急いで分速８０ｍで歩いたところ、家を出てからちょうど３０分で駅に到着しました。家から本屋までと、本屋から駅まではそれぞれ何ｍあるでしょうか？連立方程式の文章題は長くなりがちです。上の例題も長いですよね。数学の文章題では、長い文章から答えを出すために必要な部分を見つけ出すことも求められています。余計な情報をスルーすることも覚えましょう。文章題を読み取るのに最も大切なこと文章題を読み取るのに最も大切なことは「何が求められているか」です。まず、最初にコレを明確にしましょう。例題では「家から本屋までと、本屋から駅まではそれぞれ何ｍあるでしょうか？」です。つまり、「家から本屋までの距離」と「本屋から駅までの距離」が求められているわけです。求められているものが２つなので、これを「ｘ」と「ｙ」にします。ｘ＝家から本屋までの距離ｙ＝本屋から駅までの距離文章を式にする次に必要なのは文章から式を導くことです。順番に見ていきましょう。「家から１．８ｋｍ離れた駅に行くのに、…途中にある本屋に寄りました。」この文章から家から駅までの距離が１．８ｋｍだということがわかります。また、家と駅のあいだに本屋があることもわかります。これを「ｘ」と「ｙ」を使って式にすると次のようになります。ｘ＋ｙ＝１．８（ｋｍ）「家から本屋までは分速６０ｍの速さで歩き」これで家から本屋までの距離（ｘ）と速さ（分速６０ｍ）が文字で表せます。距離と速さがわかれば、時間も計算できますよね。これを式にします。家から本屋までの時間（分）＝ｘ÷６０同じように本屋から駅までの時間も式で表せます。本屋から駅までの時間（分）＝ｙ÷８０「本屋に２分３０秒いました。」「家を出てからちょうど３０分で駅に到着しました。」この２つの分から家から本屋を経由して駅まで歩いた時間が計算できます。３０分−２分３０秒＝２７分３０秒家から駅までの時間は「家から本屋まで」と「本屋から駅まで」の時間の合計です。それが２７分３０秒。式にすると次のようになります。２７分３０秒＝（ｘ÷６０）＋（ｙ÷８０）これでｘとｙを使った式が２つ出来ました。ｘ＋ｙ＝１．８（ｋｍ）２７分３０秒＝（ｘ÷６０）＋（ｙ÷８０）単位をそろえてから解きます。ｘ＋ｙ＝１８００（ｘ÷６０）＋（ｙ÷８０）＝２７．５連立方程式を解くと、ｘ＝１２００、ｙ＝６００となります。よって、答え．家から本屋まで１２００ｍ、本屋から駅まで６００ｍ

連立方程式（食塩水）【連立方程式の定番問題（食塩水）】３％と１１％の食塩水を混ぜて、５％の食塩水を４００ｇ作りたい。３％と１１％の食塩水をそれぞれ何ｇ用意すれば良いか求めなさい。食塩水に関する問題も連立方程式の文章題では定番です。苦手にしている人もいるかもしれませんが、ポイントさえつかめば難しくありません。食塩水の問題では３要素を表にする食塩水は、濃度、食塩の量、食塩水の量の３要素があります。この３つを表にするのが問題を解くコツです。上の例題の文章を表にすると下記のようになります。濃度食塩水の量食塩の量３％（不明）（不明）１１％（不明）（不明）５％４００ｇ（不明）食塩水の問題では３つの要素のうち２つがわかれば、残りひとつは計算できます。５％の食塩水４００ｇに含まれる食塩の量を求めます。４００ｇ×５％（０．０５）＝２０ｇこれを表に加えます。濃度食塩水の量食塩の量３％（不明）（不明）１１％（不明）（不明）５％４００ｇ２０ｇ問題文では「３％と１１％の食塩水をそれぞれ何ｇ用意すれば良いか」となっています。こえを、それぞれ「ｘ」「ｙ」とします。表に加えた結果が下記。濃度食塩水の量食塩の量３％ｘｇ（不明）１１％ｙｇ（不明）５％４００ｇ２０ｇ２つの要素がわかれば残り１つが求められるので、（不明）を埋めます。３％＝０．０３で、食塩水の量にこれをかけた値が食塩の量となります濃度食塩水の量食塩の量３％ｘｇ０．０３ｘ１１％ｙｇ０．１１ｙ５％４００ｇ２０ｇ３％と１１％の食塩水を混ぜて５％の食塩水を作るので、このことを表をもとに式に直します。ｘ＋ｙ＝４００（食塩水の量の式）０．０３ｘ＋０．１１ｙ＝２０（食塩の量の式）これを連立方程式として解くと、ｘ＝３００、ｙ＝１００となります。よって、答え．３％の食塩水３００ｇ、１１％の食塩水１００ｇ食塩水の問題は、「３つの要素の表を作る」「表から式を組み立てる」の２段階で解くのがポイントです。使いこなせるようにマスターしてください。

連立方程式（割合）【連立方程式の定番問題（割合）】ある中学校の２年生全員を対象にスマホを持っているかの調査を行いました。スマホを持っていると答えた人の割合は男子が７５％、女子が８０％でした。この中学校の中学２年生は１３８人で、スマホを持っている人は男女合わせて１０７人です。この中学校の２年生の男子、女子の人数をそれぞれ求めなさい。これも連立方程式の文章題で定番のひとつです。スマホの保有率のところが部活に所属している人だったり習い事をしている人だったりとパターンは変わっても中身は同じ。基本的な解き方をマスターしておきましょう。問題文を表にすると見えてくるこのタイプの問題は表を作成してあてはめるとわかりやすくなります。不明なところは「？」にして、上の例題を表にしてみます。男子女子合計人数？？138人保有率75%80%？保有人数？？107人この問題で求めるのは男女それぞれの人数です。なので、男子の人数を「ｘ」、女子の人数を「ｙ」とします。男子女子合計人数ｘｙ138人保有率75%80%？保有人数？？107人すると、男女別の保有人数が「ｘ」と「ｙ」で表せることに気づきますか。これに気づけば正解にグッと近づきます。男子「ｘ」人の「７５％」が保有人数です。「ｘ」に「７５％」をかけた「０．７５ｘ」が保有人数というわけです。「ｙ」についても同様に計算した結果を埋めたのが下記。男子女子合計人数ｘｙ138人保有率75%80%？保有人数0.75ｘ0.8ｙ107人この表から、「ｘ」と「ｙ」について２つの式を立てます。どうすればイイかわかりますか？男子＋女子＝合計このあたり前に気がつけば、カンタンに式が立てられます。ｘ＋ｙ＝１３８０．７５ｘ＋０．８ｙ＝１０７あとはこの連立方程式を解けば答えです。y=138-x75x+80(138-y)=1070075x-80x=10700-11040-5x=-340x=68y=138-68y=70x=68,y=70答え．男子６８人、女子７０人

連立方程式（２ケタの自然数）【２ケタの自然数に関する連立方程式文章題】２ケタの自然数があります。この自然数の十の位と一の位の和は１１で、十の位と一の位の数を入れかえて出来る自然数はもとの自然数よりも２７小さい。もとの自然数を求めよ。連立方程式の文章題で「２ケタの自然数」も定番のひとつです。十の位の数が一の位の数の何倍だとかパターンはいくつかありますが、基本的な解き方は同じです。２ケタの自然数を「ｘ」と「ｙ」で表す方法をマスターしておきましょう。２ケタの自然数を「ｘ」「ｙ」で表すこの問題で求めるものは２ケタの自然数ひとつです。では、これを「ｘ」にするのかというと、それは間違い。２ケタの自然数を「ｘ」と「ｙ」で表すのです。十の位の数…「ｘ」一の位の数…「ｙ」というわけです。【注意】２ケタの自然数は「ｘｙ」ではありません！文字式で「ｘｙ」とは「ｘ」かける「ｙ」を意味します。なので、仮に「ｘ」が５、「ｙ」が４だとすると、「ｘｙ」＝５×４＝２０となります。十の位の数…「ｘ」一の位の数…「ｙ」とするのであれば、２ケタの自然数は「１０ｘ＋ｙ」です。これなら「ｘ」が５、「ｙ」が４のとき、５０＋４＝５４となります。で、十の位の数と一の位の数を入れかえてできる２ケタの自然数（文章題でよく出てきます）は、「１０ｙ＋ｘ」となります。この２つの表し方を覚えておきましょう。十の位の数…「ｘ」、一の位の数…「ｙ」とすると、２ケタの自然数＝１０ｘ＋ｙ十の位と一の位を入れかえて出来る自然数＝１０ｙ＋ｘ例題を解いてみる２ケタの自然数の表し方がわかれば、あとは問題を解いてみましょう。十の位の数…「ｘ」一の位の数…「ｙ」とします。「十の位と一の位の和は１１」を式にしたのが下記。ｘ＋ｙ＝１１「十の位と一の位の数を入れかえて出来る自然数はもとの自然数よりも２７小さい」は下記。十の位と一の位の数を入れかえて出来る自然数…「１０ｙ＋ｘ」もとの自然数…「１０ｘ＋ｙ」「２７小さい」は、２７を足せば等しいと読み替えて式にします。１０ｙ＋ｘ＋２７＝１０ｘ＋ｙ２つ式ができたので、あとは連立方程式としてこれを解きます。ｘ＋ｙ＝１１ → ｙ＝１１−ｘ（*1）１０ｙ＋ｘ＋２７＝１０ｘ＋ｙ → ９ｙ−９ｘ＝−２７（*2）（*2）に（*1）を代入９（１１−ｘ）−９ｘ＝−２７９９−９ｘ−９ｘ＝−２７９９−１８ｘ＝−２７−１８ｘ＝−１２６ｘ＝７ｙ＝１１−ｘｙ＝４ｘ＝７、ｙ＝４答え．２ケタの自然数は７４となります。

一次関数（変化の割合）【例題：一次関数×変化の割合】ｘが３から７に増えたとき、ｙは−５から３まで増えました。このときの変化の割合を求めよ。一次関数の勉強では独特の用語がいくつか出てきます。「変化の割合」もそのひとつ。「変化の割合を求めよ」と言われても、意味がわからなければ求めようがないですよね。「増加量」など関連ワードとともに覚えておきましょう。変化の割合とは変化の割合とは、ｘの増加量に対するｙの増加量のこと。式にすると次のようになります。これだと増加量の意味がわからないと意味不明のままですよね。増加量とは、変化した値の量のことです。例題では「ｘが３から７に増えた」となっています。３から７に増えたので、変化したのは７−３＝４。この場合の増加量は「４」というわけです。減っていても増加量注意しないといけないのは変化した値が減っていても増加量ということです。「ｘが９から２に減った」ときの増加量は２−９＝−７。増加量は「−７」とマイナスがつきます。増加量の求め方＝変化後の値−変化前の値この式を覚えておきましょう。例題の解き方ここまでわかれば例題はカンタンに解けるハズです。まずは、ｘとｙの増加量を求めます。ｘの増加量＝７−３＝４ｙの増加量＝３−（−５）＝８マイナスがある場合（例題だとｙ）は符号に気をつけましょう！ｘとｙの増加量がわかればあとは式にあてはめるだけ。ｘが分母になることを間違えないようにしてください。答え．変化の割合＝２

一次関数（変域）【例題：一次関数×変域】３００ｍｌで満杯となる水槽にすでに６０ｍｌの水が入っている。ここに毎分３０ｍｌの水を水槽が満杯になるまで加えた。水を入れ始めてからｘ分後の水槽の水の量をｙとしたとき、水槽が満杯になるまでのｘとｙの変域を求めよ。長い文章題は、それだけで解く気がなくなる人もいるかもしれません。読みだけで疲れてしまう…みたいな。ただ、文章題は文章が長いほうが解くヒントも多いのでカンタンです。まずは言葉の意味を確認することから始めましょう。変域とは変域（へんいき）なんて言葉は日常生活では使わないですよね。数学でしか聞くことがないワードです。変域とは…変化できる領域のこと領域なんてわざとややこしそうな言葉を使ってますが範囲と同じ意味です。で、何が変化するかというと「ｘ」や「ｙ」です。つまり、変域を求めよというのは、「ｘ」や「ｙ」がどんな値となるかの範囲を求めよということです。なので、答えは「ココからココまで」というようになります。「ココからココまで」は不等式で表します。こんな（↓）感じです。１≦ｘ≦１０これが変域を求めよと言われたときの答え方です。例題の解き方長い文章の例題を確認していきます。文章が長いときはポイントを箇条書きにします。水槽…３００ｍｌで満杯、６０ｍｌ入っている毎分３０ｍｌの水を加えるｙ＝水を入れ始めてからｘ分後の水槽の水の量で、求めるのは「ｘ」と「ｙ」の変域です。まず最初に何分でこの水槽が満杯になるかを求めます。「３００ｍｌで満杯、６０ｍｌ入っている」ので、残りは２４０ｍｌ分。ここに「毎分３０ｍｌの水を加える」ので、２４０÷３０＝８分となります。この８分がｘ分後の「ｘ」の最大となります。最小は水を入れ始める前の「０」分。これが「ｘ」の変域となります。０≦ｘ≦８「ｙ」は「水を入れ始めてからｘ分後の水槽の水の量」のことです。「ｘ」が「０」のときは、「ｙ」も「０」ではありません！この問題では水槽にすでに６０ｍｌの水が入っています。なので、これが「ｙ」の最小値。最大値は満杯になったときなので、３００ｍｌですよね。「ｙ」の変域は次のようになります。６０≦ｙ≦３００以上となります。

一次関数（バネと重り）【例題：一次関数×バネと重り】下げたおもりの重さに比例するバネがあります。このバネに７ｇのおもりを下げると長さが２９ｃｍになり、１５ｇのおもりをつけると４５ｃｍになりました。ｘｇのおもりをつけたときのバネの長さをｙｃｍとして、ｙをｘの式で表しなさい。バネの長さとおもりの重さの関係についての問題は一次関数の文章題で定番となっています。考え方さえ知ってしまえばサービス問題といえるぐらいカンタンです。しっかり覚えておきましょう。おもりがないときのバネの長さを忘れずにまずは例題のポイントを書き出します。おもり７ｇ⇒バネ２９ｃｍおもり１５ｇ⇒バネ４５ｃｍおもり「ｘ」ｇ⇒バネ「ｙ」ｃｍ「ｙをｘの式で表しなさい。」というのは、「ｙ＝●ｘ＋●」の形にしなさいという意味です。これは一次関数の文章題で共通していますので、覚えておきましょう。おもりとバネの問題で忘れてはならないのは最初のバネの長さです。おもりを下げていないときもバネには長さがあります。おもり７ｇでバネの長さが２９ｃｍというのは、７ｇでバネが２９ｃｍ伸びたのではありません。ココを勘違いしないように！もともとのバネの長さから何センチか伸びて２９ｃｍになったということです。a：おもさ１ｇに対するバネの伸び、ｂ：もともとのバネの長さこの問題を解くときは、おもさ１ｇに対するバネの伸びを「a」、もともとのバネの長さを「ｂ」とするのがポイント。こうすると、おもり「ｘ」ｇ、バネ「ｙ」ｃｍが次のように表わせます。ｙ＝aｘ＋ｂ問題文から条件が２つ与えられています。おもり７ｇ⇒バネ２９ｃｍおもり１５ｇ⇒バネ４５ｃｍこれを「ｙ＝aｘ＋ｂ」にあてはめると、２９＝７a＋ｂ４５＝１５a＋ｂこの連立方程式を解きます。ｂ＝２９−７ａ４５＝１５a＋２９−７ａ１６＝８ａａ＝２２９＝１４＋ｂｂ＝１５あとはａ＝２、ｂ＝１５を式にあてはめればＯＫ。ｙ＝２ｘ＋１５これが答えとなります。

一次関数（水槽）【水槽が出てくる一次関数の文章問題】８０リットルで満水となる水槽にすでに１７リットルの水が入っています。ここに満水になるまで毎分９リットルの水を入れていきます。水を入れ始めてからｘ分後の水槽の水の量をｙリットルとしたとき、ｙをｘの式で表しなさい。水槽（すいそう）に水を溜めていくというのは一次関数の定番文章問題のひとつです。「蛇口が２つ」「排水もしている」などいろいろなパターンの問題がありますが、まずは上の例題で基本となる考え方を覚えておきましょう。図に書いて整理する水槽の問題が出たときはカンタンな図を書いてポイントを整理しましょう。上の例題であれば下記のような図になります。この問題でのポイントは３つです。８０リットルで満水もともと１７リットル入っている毎分９リットルの水が増えるで、問題文から「ｘ」と「ｙ」も整理します。「ｘ」　…　水を入れ始めてから何分後か「ｙ」　…　水槽の水の量１分後と２分後を考えるまず、水を入れ始めてから１分後の水の量を考えてみます。「もともと１７リットル」あるところに、「毎分９リットル」の水を入れるので、１７＋９＝２６リットルとなります。（毎分９リットルとは１分間で９リットルという意味です。）２分後は、「毎分９リットル」が２分間入ったので、９×２＝１８リットル。もともとあった１７リットルを足すと３５リットルとなります。「ｘ」と「ｙ」を表にすると下記のようになります。ｘ分後ｙリットル１２６２３５３４４……これを式にすれば答えとなります。式にする考え方ｘ分後の水の量とは、ｘ分間で増えた水の量＋もともと入っていた水の量となります。水槽から排水されていない場合はこうなります。しっかり覚えましょう。ｘ分後の水の量　＝　もともとの水の量　＋　ｘ分間で増えた（入れた）水の量「ｘ分後の水の量」とは「ｙ」のことです。なので、これに数字をあてはめれば「ｙ＝…」の式になります。もともとの水の量は問題文から１７リットルとわかります。ｘ分間で増えた（入れた）水の量も、「毎分９リットルの水が増える」から計算できます。「毎分９リットルの水が増える」とは「１分あたり９リットルの水が増える」という意味です。１分なら９×１＝９リットル２分なら９×２＝１８リットルｘ分なら９×ｘ＝９ｘリットルｘ分間で増えた（入れた）水の量とは「９ｘ」となります。以上で求めたものを下記の式にあてはめたのが答え。ｘ分後の水の量　＝　もともとの水の量　＋　ｘ分間で増えた（入れた）水の量答え．ｙ＝９ｘ＋１７（１７＋９ｘをｘを前にして入れかえています。）

一次関数（料金プラン）【電話料金プランが出てくる一次関数の文章問題】ある電話会社にはＡプランとＢプランの２つの料金プランがあります。Ａプランは基本料金（月額）が２４８０円で１分ごとの利用料が６円。Ｂプランは基本料金（月額）が９８０円で１分ごとの利用料が１０円です。基本料金（月額）は使用時間に関わらず毎月固定で必要となる金額です。１ヶ月でｘ分使用したときの月額料金をｙ円として、ＡプランＢプランそれぞれについてｙをｘの式で表しなさい。電話料金プランを一次関数の式にするというのも定番問題になっています。スマホ利用料など日常生活で馴染のあるモノを勉強にも取り入れようという意図があるのかもしれません。実際の料金プランは、家族割りなど条件がもっと複雑なのですが、中学数学の文章題で出てくるプランはシンプルです。ポイントを整理しておきましょう。長い文章題は表にするパッと見て上の文章題は文字だらけで長いですよね。文章を見ただけでイヤにならないでください。長い文章のほうが問題の中身はカンタンです。（文章が長いということは、問題を解くヒントが多いということだからです。）ただし、文章だけではポイントがつかめないので表にして整理しましょう。プラン基本料金１分あたり利用料Ａ２４８０円６円Ｂ９８０円１０円これで問題文がスッキリしました。ｘとｙが何を表わすかも問題文で定義されています。ｘ…１ヶ月の使用時間（分）ｙ＝ｘ分使用したときの月額料金（円）Ａプラン、Ｂプランそれぞれについて「ｙをｘの式で表しなさい」という問題です。まずはＡプランから。１分あたり利用料が６円なので、ｘ分使った場合は６ｘ円。これに固定の基本料金（２４８０円）を加えたものがＡプランでの月額料金となります。ｙ＝６ｘ＋２４８０これがＡプランについての答え。カンタンですよね。つづいてＢプラン。１分あたり利用料が１０円なので、ｘ分使った場合は１０ｘ円。基本料金は９８０円。ｙ＝１０ｘ＋９８０これがＢプランについての答えです。答え．Ａプラン…ｙ＝６ｘ＋２４８０、Ｂプラン…ｙ＝１０ｘ＋９８０連立方程式の解が意味するものは？Ａプラン、Ｂプラン２つの式ができましたが、これを連立方程式として見ると解が何を意味するか分かりますか？ｙ＝６ｘ＋２４８０ｙ＝１０ｘ＋９８０連立方程式として解くと、ｘ＝３７５、ｙ＝４７３０となります。ｘとｙが何を表わしていたか覚えていますか？ｘ…１ヶ月の使用時間（分）ｙ＝ｘ分使用したときの月額料金（円）つまり、３７５分使用したときの月額料金はＡプランでもＢプランでも４７３０円というわけです。同じ金額になる利用時間が連立方程式の解というわけです。覚えておきましょう。

一次関数（増加量）中学２年の一次関数で出てくる「増加量」は紛らわしい用語のひとつです。増加量なのに「増えている」とは限らないからです。用語から中学数学のポイントを覚える「増加量」まずは、次の問題を解いてみてください。【練習問題】一次関数「ｙ＝−３ｘ＋５」において、ｘが４から６まで変化したときのｙの増加量を求めよ。解き方としては、単純にｘが４のときと６のときのｙの値を求めます。ｘ＝４のときｙ＝−３（×４）＋５ｙ＝−１２＋５ｙ＝−７ｘ＝６のときｙ＝−３（×６）＋５ｙ＝−１８＋５ｙ＝−１３ｘが４から６まで変化したときのｙの値は−７から−１３に変化しています。「−７から−１３に」って減ってんじゃん！ と思いますよね。「増加量を求めよ！」との問いなのに減っています。ワケわからなくなりますよね。ただ、これは「解なし」でも問題文のミスプリでもありません。正負の数を思い出してみる中学１年の数学で「正負の数」を勉強したことを覚えていますか。１学期の最初に習う単元です。【正負の数の問題】「３時間前」を負の数を使って表しなさい。覚えてますか？答えは「−３時間後」です。日本語としてはヘンな表現方法なのですが、数学ではこれがアリなんです。正反対のことを符号を変えて表現するのです。「１０減少した」を「増加した」にするには符号を変えればいいというわけです。「−１０増加した」＝「１０減少した」です一次関数の「増加量」にもこの考え方を用います。練習問題の解答ｘが４から６まで変化したときのｙの値は−７から−１３に変化しました。増加量を求める式は次の通りです。【増加量を求める式】変化後の値−変化前の値この式に練習問題のｙの値をあてはめて計算します。−１３−（−７）＝−６これがｙの増加量です。答え．−６「−６増加した」というのは「６減少した」と同じ意味です。考えすぎて間違えてしまわないように「増加量を求めよ」だからマイナスが答えだとオカシイ…なんて考えてしまうのは間違い！日本語と数学での用語の使い方には違いがあります。混同しないように気をつけましょう。

「場合の数」で間違いやすい問題はコレ中学２年数学の確率の単元の最初にならうのが「場合の数」です。この「場合の数」には定番の間違いやすい引っかけ問題があるので気をつけましょう。まずは「引っかけ」じゃないノーマルな問題から確認します。場合の数の基本問題【問題−１】１，２，３から数字を２つ選んでできる２ケタの数字は何通りありますか？（ただし、同じ数字を２つ選ぶことはできません）これが教科書でも最初のほうに出てくる場合の数の問題です。樹形図を使って整理すると次のようになります。１，２，３の３つの数字なので、最初の数字は３通り。同じ数字を２つ選ぶことはできないので、２番目に選ぶ数字は２通りずつ。３通り（最初の数字）×２通り（次に選ぶ数字）＝６通り　が答えとなります。同じ数字を選べないので、２番目の数字が「最初の数字の組合せ数−１」となるのがポイント。数が多くて樹形図を書くのが大変なときは、計算式にあてはめて解きます。練習してみましょう。【問題−２】１，２，３、４，５，６，７，８，９までの数字を２つ選んでできる２ケタの数字は何通りありますか？（ただし、同じ数字を２つ選ぶことはできません）最初の数字は９通り（１から９まで）。次の数字は８通り（９通り−１)。よって、答えは９×８＝７２通りとなります。次が引っかけ問題です。場合の数のひっかけ問題【問題−３】０，１，２，３，４から数字を２つ選んでできる２ケタの数字は何通りありますか？（ただし、同じ数字を２つ選ぶことはできません）最初の数字は５通り（０から４まで）。次の数字は４通り（５通り−１)。よって、答えは５×４＝２０通り　とするのは間違いです。ゼロに注意！「０１」「０２」など十の位が「０（ゼロ）」となるのは２ケタの数字はありません。つまり、上の問題では最初の数字に「０（ゼロ）」を選ぶことはできないのです。最初の数字として考えられるのは、「１，２，３，４」の４通り。じゃぁ、次の数字は３通り（４通り−１)。とするのも間違い！次の数字（２番目の数字には０が来てもＯＫです。）「１０」「２０」は２ケタの数字ですよね。なので、２番目の数字の組み合わせは４通りです。よって、答えは４×４＝１６通りとなります。表で整理すると次のようになります。色のついているところが２ケタの数字です。ケアレスミスを防ぐ考え方場合の数の「数字を作れ問題」で「０（ゼロ）」が出てきたら要注意！

総当たりリーグ戦の試合数を求めよ場合の数の組合せ問題とは次のような問題です。【問題−１】Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５チームでそれぞれ１回ずつ対戦するときの試合数を求めなさい。総当たり戦の計算方法上の問題は５チーム参加の総当たりリーグ戦の試合数を求めよというのと同じ意味です。わかりやすく表にしてみます。ＡＢＣＤＥＡ−○○○○Ｂ−○○○Ｃ−○○Ｄ−○Ｅ−○印を数えれば試合数となります。答えは１０試合です。ただ、テストで表を書いている時間はないと思います。そこで計算式を使って解く解き方を解説します。計算式を使って場合の数「組合せ問題」を解く上の表はリーグ戦の星取表形式でした。５チームの中から対戦する２チームを選び出すという視点で作りなおした表が下記になります。試合ＡＢＣＤＥ１試合目ＡＢ２試合目ＡＣ３試合目ＡＤ４試合目ＡＥ５試合目ＢＣ６試合目ＢＤ７試合目ＢＥ８試合目ＣＤ９試合目ＣＥ１０試合目ＤＥ試合数を確認するための表なので、１試合目から４試合目までＡばかり試合が続いて不公平、間隔があいてるＤが有利！というのは考えなくてＯＫです。これがすべての組み合わせなので、全部で１０通りです。このとき表の中のＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅのそれぞれの数に着目します。Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅとも４つずつですよね。全部で５チームあって、全チームと対戦するので、各チームの試合数は自分のチームを引いた４（５−１）試合です。ということは、５チーム×それぞれ４試合＝２０試合…と考えるのは間違い。これではＡ対Ｂの試合をＡチーム側でもＢチーム側でも数えてしまってます。２重に数えていることになるので、２で割ったのが正しい答え。２０÷２＝１０試合となるわけです。公式にすると次のようになります。【ｎ種類のなかから２種類を選んだときの組合せ数】ｎ×（ｎ−１）÷２下のように使います。【５種類のなかから２種類を選んだときの組合せ数】５×（５−１）÷２（５チームで総当たりのリーグ戦を行うときの計算と同じ）場合の数「組合せ問題」のトクする解き方「ｎ×（ｎ−１）÷２」では、先に÷２を計算するほうが簡単です。ｎ×（ｎ−１）はどちらかが必ず偶数になります。偶数のほうを２で割ってから、かけ算をしたほうが計算ミスが防げます。

サイコロを２つ投げる確率の問題の基本パターン２つのサイコロを投げて確率を求める問題は基本出題パターンが決まっています。覚えておけば得点源にできるので、このページを参考にしてみてください。サイコロ確率問題パターン（１）同じ目の確率【問題・１】２つのサイコロを投げたときに同じ目が出る確率を求めよ。２つサイコロを投げて、それぞれの目が「１」と「１」、「２」と「２」のように同じになる確率を求めよという問題です。これは表にして考えてみます。２つサイコロをＡ、Ｂとし、Ａのサイコロの目を一、二、三…と漢数字で、Ｂのサイコロの目を１、２、３…と算用数字で表すと、出る目のパターンが下記の表になります。一二三四五六１２３４５６出る目のパターンはマス目の数なので、６×６＝３６通り。このうち同じ目のところに「●」をつけてみます。一二三四五六１●２●３●４●５●６●●は全部で６つ。全３６通りのうち６通りが同じ目になるというわけです。よって、３６分の６＝６分の１が答えとなります。２つサイコロを投げて確立を求めるときは、分母は３６サイコロの目は１から６までと決まっています。このため２つサイコロを投げて、何らかの確立を求めるときは分母が６×６＝３６となります。答えを出すときは約分を忘れないようにしましょう。応用：サイコロの目が違う確率は？上の問題ではサイコロの目が同じ確率を求めましたが、違う確率はどうでしょうか？表にして…と面倒なことをしなくても計算で求められます。２つサイコロを投げたときの目は同じか違うかの２パターンしかありません。２パターンしかないということは、この２パターンで１００％ということ。ということは、片方がわかれば、もう片方は１００％から引けばイイのです。同じ目になる確率が６分の１なので、違う目になる確率は６分の５となります。（６分の１＋６分の５＝６分の６で１００％）サイコロ確率問題パターン（２）出る目の和【問題・２】２つのサイコロを投げたときに出る目の和が３の倍数になる確率を求めよ。２つサイコロを投げて、それぞれの目が「１」と「２」、「２」と「４」のように足すと３の倍数になる確率を求めよという問題です。まずは、考えられる３の倍数を書き出します。３、６、９、１２まで。サイコロの目は６までなので、２つのサイコロの目の和の最大は１２です。表で３、６、９、１２になるところに「●」をつけてみます。一二三四五六１●●２●●３●●４●●５●●６●●●は全部で１２コ。全３６通りのうち１２通りが３の倍数というわけです。よって、３６分の１２＝３分の１が答えとなります。サイコロ確率問題パターン（３）２種類のサイコロ【問題・３】２つのサイコロＡ、Ｂを投げたときに、Ａのサイコロの目がＢのサイコロの目より１大きくなる確率を求めよ。２つサイコロを投げて、サイコロＡの目が「１」、サイコロＢの目が「２」となるような確率を求めよという問題です。２つのサイコロを区別していてサイコロＢの目が「１」でサイコロＡの目が「２」のようなケースは含めないのが特徴です。組合せではなく順列の考え方になっています。表に「●」をつけて考えます。サイコロＡの目…一、二、三、四、五、六サイコロＢの目…１、２、３、４、５、６一二三四五六１●２●３●４●５●６●は全部で５コ。全３６通りのうち５通りです。よって、３６分の５が答えとなります。

「確率」赤玉・白玉を取り出す問題の解き方中学数学で習う確率の問題の定番が「赤玉・白玉」問題です。赤い玉と白い玉を同じ袋の中に入れて、玉を取り出したときの確率を求めるもの。この問題は解き方・考え方を覚えておけば難しくありません。順番に見ていきましょう。中学数学「確率」での赤玉・白玉問題【問題・１】赤玉２個と白玉３個を同じ袋の中に入れ、同時に２個の玉を取り出したとき、少なくともどちらかひとつが赤玉になる確率を求めよ。取り出す２個のパターンとしてありえるのは以下の３つ。赤−赤赤−白白−白少なくとも１個は赤なので「答えは３分の２」とならないことはわかりますよね。袋の中に「赤玉２個と白玉３個」が入っている」ことがポイントです。赤１、赤２…というように玉に数字をつけて区別する。赤玉・白玉問題は、「赤玉」「白玉」を１つ１つ別の玉として区別するとわかりやすい。上の問題では「赤玉２個と白玉３個」とあります。これを１つ１つ別に区別すると下記のようになります。赤１赤２白１白２白３これで全部で５個。この中から２つを取り出すというわけです。５個の中から２個を選ぶ組合せの数の求め方は場合の数のところで勉強したのを覚えてますか？（忘れてしまった人は下記の参考記事をチェック）場合の数「組合せ問題」で知ってると得する解き方公式を覚えずに組合せの数を求める問題を解く方法複数のモノの中から２つを選ぶときの組み合わせの数はリーグ戦の試合数と同じです。赤１、赤２、白１、白２、白３でリーグ戦を行ったときの試合数を求めます。赤１赤２白１白２白３赤１−○○○○赤２−○○○白１−○○白２−○白３−○が１０個で１０試合となります。組合せ数は「１０」となります。このうち赤１か赤２が出場する試合に●をつけてみます。赤１赤２白１白２白３赤１−●●●●赤２−●●●白１−○○白２−○白３−●は全部で７個。全１０試合中７試合は「赤１」か「赤２」チームが出場することになります。赤玉２個と白玉３個から２個を同時に摂り出したときに少なくとも１個が赤玉になる確率と同じです。よって、答えは１０分の７となります。

中学数学「確率」赤玉・白玉・青玉を取り出す応用問題中学数学での確率の定番問題「赤玉・白玉」問題に続いて出題されるのが、もう一種類加えた「赤・白・青玉」問題です。今回はこの問題を考えてみます。赤玉・白玉問題についての解説はコチラをご覧ください。（中学数学「確率」赤玉・白玉を取り出す問題の解き方）中学数学「確率」での赤・白・青玉問題【問題・１】同じ１つの袋の中に赤玉４個、白玉３個、青玉２個を入れ、同時に２個の玉を取り出したとき、少なくともどちらかひとつが青玉になる確率を求めよ。「少なくともどちらかひとつ」なので青玉２つのケースも含まれます。この問題の考え方は赤玉・白玉問題のときと同じです。赤１、赤２…というように同じ色の玉に数字をつけて区別します。赤１赤２赤３赤４白１白２白３青１青２これで全部で９個。この中から２つを取り出すというわけです。９個の中から２個のものを取り出すときの組合せ数を求めます。（場合の数のときに説明した内容です。下記の参考記事で解説）場合の数「組合せ問題」で知ってると得する解き方公式を覚えずに組合せの数を求める問題を解く方法【９個の中から２個のものを取り出すときの組合せ数】９×８÷２＝３６通り２個を取り出す組み合わせ数なので、９チームでリーグ戦を行ったときの試合数と同じです。全部で３６通りなので、これが求める割合の分母になります。分子は「少なくともどちらかひとつが青玉になる場合の数」です。青玉は２つ。青１青２「青１」が選ばれたときの、もう一つの球は全部で８種類。赤１赤２赤３赤４白１白２白３青２「青２」が選ばれたときの、もう一つの球も全部で８種類。赤１赤２赤３赤４白１白２白３青２８＋８＝１６　となりますが、「青１−青２」と「青２−青１」は同じ組み合わせです。なので、１６−１＝１５ が「少なくともどちらかひとつが青玉になる場合の数」です。これが分子となります。ケアレスミスに注意よって、３６分の１５が答え…としてしまってはケアレスミス。この数字は約分できます。答え．１２分の５解き方のヒント赤玉、白玉、青玉と３つになると複雑に感じてしまう人もいるかもしれませんが、赤１、赤２…というように同じ色の玉に数字をつけて考えるのがポイントです。