中二数学文章題解説:式による証明

「式による証明×2ケタの自然数」の問題パターン

【式による証明問題(2ケタの自然数)】
2ケタの自然数と、その自然数の十の位と一の位の数を入れかえた自然数の和が11の倍数となることを証明せよ。ただし、最初の自然数の一の位は「0(ゼロ)」以外とする。

 

文字式による証明問題では2ケタの自然数に関する問題も定番です。

 

問題文の意味を確認

問題文の意味は分かりますか?
具体的な数字で考えてみましょう。

 

例えば、2ケタの自然数を「76」とすると、その自然数の十の位と一の位の数を入れかえた自然数とは「7」と「6」を入れかえた「67」のこと。

 

その和とは、76+67のこと。
これが11の倍数になるというわけです。

 

76+67=143です。
143=11×13で11の倍数となっています。

 

76以外の数字でも、常に11の倍数となることを証明せよという問題です。
まずは、2ケタの自然数の表し方から考えます。

 

2ケタの自然数を文字式で表すと

十の位の数を「」、一の位の数を「」とすると、2ケタの自然数は「10a+b」となります。具体的な数で確認しましょう。

 

49で考えてみます。

 

十の位の数は「4」、一の位の数は「9」です。
4×10+9=49ですよね。

 

十の位の数に10を掛けたものに、一の位の数を足すだけです。

 

十の位と一の位の数を入れかえた自然数

問題文には「十の位と一の位の数を入れかえた自然数」が出てきます。
これも文字式で表します。

 

最初の2ケタの自然数を「10a+b」とするなら、十の位と一の位の数を入れかえた自然数は「10b+a」となります。これで2つの自然数が文字式になりました。

 

2つの自然数の和は

2ケタの自然数…「10a+b」、十の位と一の位の数を入れかえた自然数…「10b+a」から2つの自然数の和は次のようになります。

【2つの自然数の和】
「10a+b」+「10b+a」

 

この式を整理すると、

【2つの自然数の和】
「10a+b」+「10b+a」=11a+11b

 

11」がaとbに共通しているのでカッコでくくると、

11(a+b)

 

(a+b)は整数なので、11の倍数となるというわけです。

 

2つの数字の差

ちなみに、これ例題が2つの数字のとなった場合は、9の倍数となります。

【2つの自然数の差】
「10a+b」−「10b+a」

 

この式を整理すると、

【2つの自然数の差】
「10a+b」−「10b+a」=9a+9b

 

あとの考え方は「11」のときと同じです。
あわせて覚えておきましょう。

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