中二数学「式による証明の文章問題　２ケタ自然数」

 

文字式による証明問題では２ケタの自然数に関する問題も定番です。

 

問題文の意味を確認

問題文の意味は分かりますか？
具体的な数字で考えてみましょう。

 

例えば、２ケタの自然数を「７６」とすると、その自然数の十の位と一の位の数を入れかえた自然数とは「７」と「６」を入れかえた「６７」のこと。

 

その和とは、７６＋６７のこと。
これが１１の倍数になるというわけです。

 

７６＋６７＝１４３です。
１４３＝１１×１３で１１の倍数となっています。

 

７６以外の数字でも、常に１１の倍数となることを証明せよという問題です。
まずは、２ケタの自然数の表し方から考えます。

 

２ケタの自然数を文字式で表すと

十の位の数を「ａ」、一の位の数を「ｂ」とすると、２ケタの自然数は「１０ａ＋ｂ」となります。具体的な数で確認しましょう。

 

４９で考えてみます。

 

十の位の数は「４」、一の位の数は「９」です。
４×１０＋９＝４９ですよね。

 

十の位の数に１０を掛けたものに、一の位の数を足すだけです。

 

十の位と一の位の数を入れかえた自然数

問題文には「十の位と一の位の数を入れかえた自然数」が出てきます。
これも文字式で表します。

 

最初の２ケタの自然数を「１０ａ＋ｂ」とするなら、十の位と一の位の数を入れかえた自然数は「１０ｂ＋ａ」となります。これで２つの自然数が文字式になりました。

 

２つの自然数の和は

２ケタの自然数…「１０ａ＋ｂ」、十の位と一の位の数を入れかえた自然数…「１０ｂ＋ａ」から２つの自然数の和は次のようになります。

 

この式を整理すると、

 

「１１」がａとｂに共通しているのでカッコでくくると、

 

（ａ＋ｂ）は整数なので、１１の倍数となるというわけです。

 

２つの数字の差

ちなみに、これ例題が２つの数字の差となった場合は、９の倍数となります。

 

この式を整理すると、

 

あとの考え方は「１１」のときと同じです。
あわせて覚えておきましょう。