中二数学「式による証明の連続する数の文章問題」

式による証明（連続する数）

【式による証明問題（連続する数）】
連続する３つの整数の和は３の倍数となることを文字式を使って証明せよ。

「証明せよ」と言われても何をどうすれば…ですよね。
ただ、中学数学で出題される証明問題は、パターンさえ覚えてしまえばカンタンです。

「連続する数の和が…」というのは文字式による証明の定番問題です。
解き方を覚えておきましょう。

問題文に文字式を使って証明せよとあるので、まずは問題文を文字式に変換します。

最初に「連続する３つの整数」を文字式にします。
整数とは「１」ずつ増えていく数のことです。

「ｎ」を整数とすると、次の整数は「ｎ＋１」、その次は「ｎ＋２」となります。
連続する３つの整数とは、「ｎ」「ｎ＋１」「ｎ＋２」となります。

【なぜ「ｎ」を使うのか気になった人は…】
いきなり「ｎ」が出てきたことに疑問を持つ人もいるかもしれません。

「ｘ」とか［ａ」じゃなくて「ｎ」の理由は？と。
この「ｎ」にはあまり深い意味はありません。
この場合は「ｎ」を使うとなんとなく覚えておけばＯＫ。

数学で細かいことを気にしすぎてしまうと深みにはまることになるので、スッと受け入れておきましょう。

連続する３つの整数を文字式で表すことができたら、次はその和も文字式にします。

「ｎ」＋「ｎ＋１」＋「ｎ＋２」

これが連続する３つの整数の和を文字式で表したものです。
この文字式をまとめると次のようになります。

ｎ＋ｎ＋１＋ｎ＋２＝３ｎ＋３

３の倍数とは、３で割り切れる数のことです。
「ｎ」を整数として、「３ｎ＋３」で表せる数は３で割り切れますよね。

ここまでをまとめれば答えとなります。

ｎを整数とすると、連続する３つの整数は、ｎ、ｎ＋１、ｎ＋２と表せる。
この３つの整数の和は、ｎ＋ｎ＋１＋ｎ＋２＝３ｎ＋３となる。
ｎは整数なので、３ｎ＋３は３の倍数である。
よって、連続する３つの整数の和は３の倍数となる。

連続する３つの整数をｎ－１、ｎ、ｎ＋１としても正解です。
この場合、３つの整数の和は、ｎ－１＋ｎ＋ｎ＋１＝３ｎとなります。
ｎは整数なので、３ｎは３の倍数となります。