中二数学「場合の数の組合せ問題の解き方」

場合の数の組合せ問題とは次のような問題です。

 

総当たり戦の計算方法

上の問題は５チーム参加の総当たりリーグ戦の試合数を求めよというのと同じ意味です。
わかりやすく表にしてみます。

 

○印を数えれば試合数となります。
答えは１０試合です。

 

ただ、テストで表を書いている時間はないと思います。
そこで計算式を使って解く解き方を解説します。

 

計算式を使って場合の数「組合せ問題」を解く

上の表はリーグ戦の星取表形式でした。
５チームの中から対戦する２チームを選び出すという視点で作りなおした表が下記になります。

 

試合数を確認するための表なので、１試合目から４試合目までＡばかり試合が続いて不公平、間隔があいてるＤが有利！というのは考えなくてＯＫです。

 

これがすべての組み合わせなので、全部で１０通りです。
このとき表の中のＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅのそれぞれの数に着目します。

 

Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅとも４つずつですよね。全部で５チームあって、全チームと対戦するので、各チームの試合数は自分のチームを引いた４（５−１）試合です。

 

ということは、５チーム×それぞれ４試合＝２０試合…と考えるのは間違い。
これではＡ対Ｂの試合をＡチーム側でもＢチーム側でも数えてしまってます。

 

２重に数えていることになるので、２で割ったのが正しい答え。
２０÷２＝１０試合となるわけです。

 

公式にすると次のようになります。

下のように使います。