場合の数「組合せ問題の」解き方(中学2年数学)

場合の数「組合せ問題」で知っておくと得する解き方

場合の数の組合せ問題とは次のような問題です。

【問題−1】
A、B、C、D、Eの5チームでそれぞれ1回ずつ対戦するときの試合数を求めなさい。

 

これは5チーム参加の総当たりリーグ戦の試合数を求めよというのと同じ意味です。
わかりやすく表にしてみます。

 

○印を数えれば試合数となります。
答えは10試合です。

 

ただ、テストで表を書いている時間はないと思います。
そこで計算式を使って解く解き方を解説します。

 

計算式を使って場合の数「組合せ問題」を解く

上の表はリーグ戦の星取表形式でした。
5チームの中から対戦する2チームを選び出すという視点で作りなおした表が下記になります。

 

試合
1試合目
2試合目
3試合目
4試合目
5試合目
6試合目
7試合目
8試合目
9試合目
10試合目

試合数を確認するための表なので、1試合目から4試合目までAばかり試合が続いて不公平、間隔があいてるDが有利!というのは考えなくてOKです。

 

これがすべての組み合わせなので、全部で10通りです。
このとき表の中のA、B、C、D、Eのそれぞれの数に着目します。

 

A、B、C、D、Eとも4つずつですよね。全部で5チームあって、全チームと対戦するので、各チームの試合数は自分のチームを引いた4(5−1)試合です。

 

ということは、5チーム×それぞれ4試合=20試合…と考えるのは間違い
これではA対Bの試合をAチーム側でもBチーム側でも数えてしまってます。

 

2重に数えていることになるので、2で割ったのが正しい答え。
20÷2=10試合となるわけです。

 

公式にすると次のようになります。

【n種類のなかから2種類を選んだときの組合せ数】
n×(n−1)÷2

下のように使います。

【5種類のなかから2種類を選んだときの組合せ数】
5×(5−1)÷2
(5チームで総当たりのリーグ戦を行うときの計算と同じ)

 

場合の数「組合せ問題」のトクする解き方

「n×(n−1)÷2」では、先に÷2を計算するほうが簡単です。

 

n×(n−1)はどちらかが必ず偶数になります。
偶数のほうを2で割ってから、かけ算をしたほうが計算ミスが防げます。

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