「 中二数学 」の検索結果
  • 中二数学「式による証明の文章問題」
    式による証明問題を解くための基本【式による証明問題(基本)】nを整数として、次の数を式で表せ。(1)奇数、(2)7の倍数、(3)連続する3つの整数式による証明問題を解くためには、まず数の表し方を覚えなければなりません。基本的なものから覚えていきましょう。nを整数として数を文字式で表す一番カンタンなのは偶数。偶数とは、2,4,6,8,10…のことですよね。偶数の共通点は2で割り切れること。2で割り切れるというのは、2の倍数になっているということです。このため、ある整数「n」を2倍したものは、必ず偶数になります。「整数」が何を指すのかを忘れちゃった人は復習。【ポイント整理】整数とは、−2,−1,0,1,2…のこと。小数や分数は整数には含まれない。正の整数(1,2,3…)のことを自然数と呼ぶ。ある整数「n」を2倍したものを文字式で表すと「2n」。これが偶数になります。偶数がわかれれば奇数はカンタンです。奇数とは、1,3,5,7,9…のこと。偶数との関係に注目すると、偶数から1を引いたものが奇数となります。これを式で表すと、「2n−1」。奇数は「2n−1」となります。ある数の倍数は?偶数のところで、ある整数「n」を2倍したものを文字式で表すと「2n」と出てきましたね。ある数の倍数の表し方はコレ。3の倍数なら「3n」。4の倍数なら「4n」。5の倍数なら「5n」。となります。連続する整数連続する整数の表し方は、整数の性質に気がつけばカンタンです。整数は「1」ずつ増えていきます。「n」の次は「n+1」、その次は「n+1+1」=「n+2」。これが連続する整数の表し方です。式による証明問題(基本)の解答(1)奇数…2n−1(2)7の倍数…7n(3)連続する3つの整数…n、n+1、n+2
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  • 中二数学「式による証明の連続する数の文章問題」
    式による証明(連続する数)【式による証明問題(連続する数)】連続する3つの整数の和は3の倍数となることを文字式を使って証明せよ。「証明せよ」と言われても何をどうすれば…ですよね。ただ、中学数学で出題される証明問題は、パターンさえ覚えてしまえばカンタンです。「連続する数の和が…」というのは文字式による証明の定番問題です。解き方を覚えておきましょう。連続する数の和の証明問題の解き方問題文に文字式を使って証明せよとあるので、まずは問題文を文字式に変換します。最初に「連続する3つの整数」を文字式にします。整数とは「1」ずつ増えていく数のことです。「n」を整数とすると、次の整数は「n+1」、その次は「n+2」となります。連続する3つの整数とは、「n」「n+1」「n+2」となります。【なぜ「n」を使うのか気になった人は…】いきなり「n」が出てきたことに疑問を持つ人もいるかもしれません。「x」とか[a」じゃなくて「n」の理由は?と。この「n」にはあまり深い意味はありません。この場合は「n」を使うとなんとなく覚えておけばOK。数学で細かいことを気にしすぎてしまうと深みにはまることになるので、スッと受け入れておきましょう。連続する3つの整数の和は…連続する3つの整数を文字式で表すことができたら、次はその和も文字式にします。「n」+「n+1」+「n+2」これが連続する3つの整数の和を文字式で表したものです。この文字式をまとめると次のようになります。n+n+1+n+2=3n+33の倍数とは3の倍数とは、3で割り切れる数のことです。「n」を整数として、「3n+3」で表せる数は3で割り切れますよね。ここまでをまとめれば答えとなります。式による証明問題(連続する数)の答えnを整数とすると、連続する3つの整数は、n、n+1、n+2と表せる。この3つの整数の和は、n+n+1+n+2=3n+3となる。nは整数なので、3n+3は3の倍数である。よって、連続する3つの整数の和は3の倍数となる。別解連続する3つの整数をn−1、n、n+1としても正解です。この場合、3つの整数の和は、n−1+n+n+1=3nとなります。nは整数なので、3nは3の倍数となります。
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  • 中二数学「式による証明の文章問題 2ケタ自然数」
    式による証明(2ケタの自然数)【式による証明問題(2ケタの自然数)】2ケタの自然数と、その自然数の十の位と一の位の数を入れかえた自然数の和が11の倍数となることを証明せよ。ただし、最初の自然数の一の位は「0(ゼロ)」以外とする。文字式による証明問題では2ケタの自然数に関する問題も定番です。問題文の意味を確認問題文の意味は分かりますか?具体的な数字で考えてみましょう。例えば、2ケタの自然数を「76」とすると、その自然数の十の位と一の位の数を入れかえた自然数とは「7」と「6」を入れかえた「67」のこと。その和とは、76+67のこと。これが11の倍数になるというわけです。76+67=143です。143=11×13で11の倍数となっています。76以外の数字でも、常に11の倍数となることを証明せよという問題です。まずは、2ケタの自然数の表し方から考えます。2ケタの自然数を文字式で表すと十の位の数を「a」、一の位の数を「b」とすると、2ケタの自然数は「10a+b」となります。具体的な数で確認しましょう。49で考えてみます。十の位の数は「4」、一の位の数は「9」です。4×10+9=49ですよね。十の位の数に10を掛けたものに、一の位の数を足すだけです。十の位と一の位の数を入れかえた自然数問題文には「十の位と一の位の数を入れかえた自然数」が出てきます。これも文字式で表します。最初の2ケタの自然数を「10a+b」とするなら、十の位と一の位の数を入れかえた自然数は「10b+a」となります。これで2つの自然数が文字式になりました。2つの自然数の和は2ケタの自然数…「10a+b」、十の位と一の位の数を入れかえた自然数…「10b+a」から2つの自然数の和は次のようになります。【2つの自然数の和】「10a+b」+「10b+a」この式を整理すると、【2つの自然数の和】「10a+b」+「10b+a」=11a+11b「11」がaとbに共通しているのでカッコでくくると、11(a+b)(a+b)は整数なので、11の倍数となるというわけです。2つの数字の差ちなみに、これ例題が2つの数字の差となった場合は、9の倍数となります。【2つの自然数の差】「10a+b」−「10b+a」この式を整理すると、【2つの自然数の差】「10a+b」−「10b+a」=9a+9bあとの考え方は「11」のときと同じです。あわせて覚えておきましょう。
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  • 中二数学「値段に関する連立方程式の文章問題」
    連立方程式(値段)【連立方程式の定番問題(値段)】リンゴ3個とみかん7個を買うと合計金額は920円で、リンゴ5個とみかん3個を買うと合計金額は840円でした。リンゴ1個、みかん1個のそれぞれの値段を求めよ(消費税は考量しなくて良い)。連立方程式の文章題で最初に出てくるのが値段に関する問題です。問題文を式にできれば、解くのはそれほど難しくありません。順番に考えていきましょう。求めるものをx、yとする文章題で最初に確認すべきなのは、何を求めなければならないかです。日本語の文章では後ろのほうに来ることが多いので、前にある文に紛らわされないようにしましょう。引っかけ問題は、そうしたところを狙ってきます。この問題で求めなければならないのは「リンゴ1個、みかん1個のそれぞれの値段」です。求めるものが2つあるということから連立方程式の問題だなと推測できます。連立方程式の問題では求めるものを「x」と「y」とします。(別に「a」と「b」でもイイのですが、数学的なセンスでは「x」と「y」すると覚えておきましょう。)x…リンゴ1個の値段y…みかん1個の値段問題文を式で表すこの「x」と「y」を使って問題文を式に直します。ここが方程式の文章題のポイントです。「リンゴ3個とみかん7個を買うと合計金額は920円」を式にすることを考えます。リンゴ1個の値段が「x」なので、3個の値段は3倍した「3x」です。同じように、みかん7個の値段は「7y」となります。これを足した合計が920円というわけです。3x+7y=920連立方程式を解くには、もうひとつ式が必要です。それ用の文章がちゃんと問題文には用意されています」。「リンゴ5個とみかん3個を買うと合計金額は840円」がそれです。これを上記と同じ考え方で式にします。5x+3y=840あとは上記の連立方程式を解くだけ。3x+7y=9205x+3y=840x=120、y=80となります(ここでは文章題の解き方を覚えることがメインなので、無理して自分で計算してみる必要はありません)。答え.リンゴ1個は120円、みかん1個は80円
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  • 中二数学「速さに関する連立方程式の文章題」
    連立方程式(速さ)【連立方程式の定番問題(速さ)】家から1.8km離れた駅に行くのに、最新の雑誌を買うために途中にある本屋に寄りました。家から本屋までは分速60mの速さで歩き、雑誌を買うために本屋に2分30秒いました。本屋から駅までは少し急いで分速80mで歩いたところ、家を出てからちょうど30分で駅に到着しました。家から本屋までと、本屋から駅まではそれぞれ何mあるでしょうか?連立方程式の文章題は長くなりがちです。上の例題も長いですよね。数学の文章題では、長い文章から答えを出すために必要な部分を見つけ出すことも求められています。余計な情報をスルーすることも覚えましょう。文章題を読み取るのに最も大切なこと文章題を読み取るのに最も大切なことは「何が求められているか」です。まず、最初にコレを明確にしましょう。例題では「家から本屋までと、本屋から駅まではそれぞれ何mあるでしょうか?」です。つまり、「家から本屋までの距離」と「本屋から駅までの距離」が求められているわけです。求められているものが2つなので、これを「x」と「y」にします。x=家から本屋までの距離y=本屋から駅までの距離文章を式にする次に必要なのは文章から式を導くことです。順番に見ていきましょう。「家から1.8km離れた駅に行くのに、…途中にある本屋に寄りました。」この文章から家から駅までの距離が1.8kmだということがわかります。また、家と駅のあいだに本屋があることもわかります。これを「x」と「y」を使って式にすると次のようになります。x+y=1.8(km)「家から本屋までは分速60mの速さで歩き」これで家から本屋までの距離(x)と速さ(分速60m)が文字で表せます。距離と速さがわかれば、時間も計算できますよね。これを式にします。家から本屋までの時間(分)=x÷60同じように本屋から駅までの時間も式で表せます。本屋から駅までの時間(分)=y÷80「本屋に2分30秒いました。」「家を出てからちょうど30分で駅に到着しました。」この2つの分から家から本屋を経由して駅まで歩いた時間が計算できます。30分−2分30秒=27分30秒家から駅までの時間は「家から本屋まで」と「本屋から駅まで」の時間の合計です。それが27分30秒。式にすると次のようになります。27分30秒=(x÷60)+(y÷80)これでxとyを使った式が2つ出来ました。x+y=1.8(km)27分30秒=(x÷60)+(y÷80)単位をそろえてから解きます。x+y=1800(x÷60)+(y÷80)=27.5連立方程式を解くと、x=1200、y=600となります。よって、答え.家から本屋まで1200m、本屋から駅まで600m
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  • 中二数学「食塩水に関する連立方程式の文章問題」
    連立方程式(食塩水)【連立方程式の定番問題(食塩水)】3%と11%の食塩水を混ぜて、5%の食塩水を400g作りたい。3%と11%の食塩水をそれぞれ何g用意すれば良いか求めなさい。食塩水に関する問題も連立方程式の文章題では定番です。苦手にしている人もいるかもしれませんが、ポイントさえつかめば難しくありません。食塩水の問題では3要素を表にする食塩水は、濃度、食塩の量、食塩水の量の3要素があります。この3つを表にするのが問題を解くコツです。上の例題の文章を表にすると下記のようになります。濃度食塩水の量食塩の量3%(不明)(不明)11%(不明)(不明)5%400g(不明)食塩水の問題では3つの要素のうち2つがわかれば、残りひとつは計算できます。5%の食塩水400gに含まれる食塩の量を求めます。400g×5%(0.05)=20gこれを表に加えます。濃度食塩水の量食塩の量3%(不明)(不明)11%(不明)(不明)5%400g20g問題文では「3%と11%の食塩水をそれぞれ何g用意すれば良いか」となっています。こえを、それぞれ「x」「y」とします。表に加えた結果が下記。濃度食塩水の量食塩の量3%xg(不明)11%yg(不明)5%400g20g2つの要素がわかれば残り1つが求められるので、(不明)を埋めます。3%=0.03で、食塩水の量にこれをかけた値が食塩の量となります濃度食塩水の量食塩の量3%xg0.03x11%yg0.11y5%400g20g3%と11%の食塩水を混ぜて5%の食塩水を作るので、このことを表をもとに式に直します。x+y=400(食塩水の量の式)0.03x+0.11y=20(食塩の量の式)これを連立方程式として解くと、x=300、y=100となります。よって、答え.3%の食塩水300g、11%の食塩水100g食塩水の問題は、「3つの要素の表を作る」「表から式を組み立てる」の2段階で解くのがポイントです。使いこなせるようにマスターしてください。
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  • 中二数学「割合に関する連立方程式の文章問題」
    連立方程式(割合)【連立方程式の定番問題(割合)】ある中学校の2年生全員を対象にスマホを持っているかの調査を行いました。スマホを持っていると答えた人の割合は男子が75%、女子が80%でした。この中学校の中学2年生は138人で、スマホを持っている人は男女合わせて107人です。この中学校の2年生の男子、女子の人数をそれぞれ求めなさい。これも連立方程式の文章題で定番のひとつです。スマホの保有率のところが部活に所属している人だったり習い事をしている人だったりとパターンは変わっても中身は同じ。基本的な解き方をマスターしておきましょう。問題文を表にすると見えてくるこのタイプの問題は表を作成してあてはめるとわかりやすくなります。不明なところは「?」にして、上の例題を表にしてみます。男子女子合計人数??138人保有率75%80%?保有人数??107人この問題で求めるのは男女それぞれの人数です。なので、男子の人数を「x」、女子の人数を「y」とします。男子女子合計人数xy138人保有率75%80%?保有人数??107人すると、男女別の保有人数が「x」と「y」で表せることに気づきますか。これに気づけば正解にグッと近づきます。男子「x」人の「75%」が保有人数です。「x」に「75%」をかけた「0.75x」が保有人数というわけです。「y」についても同様に計算した結果を埋めたのが下記。男子女子合計人数xy138人保有率75%80%?保有人数0.75x0.8y107人この表から、「x」と「y」について2つの式を立てます。どうすればイイかわかりますか?男子+女子=合計このあたり前に気がつけば、カンタンに式が立てられます。x+y=1380.75x+0.8y=107あとはこの連立方程式を解けば答えです。y=138-x75x+80(138-y)=1070075x-80x=10700-11040-5x=-340x=68y=138-68y=70x=68,y=70答え.男子68人、女子70人
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  • 中二数学「2ケタの自然数の連立方程式文章題」
    連立方程式(2ケタの自然数)【2ケタの自然数に関する連立方程式文章題】2ケタの自然数があります。この自然数の十の位と一の位の和は11で、十の位と一の位の数を入れかえて出来る自然数はもとの自然数よりも27小さい。もとの自然数を求めよ。連立方程式の文章題で「2ケタの自然数」も定番のひとつです。十の位の数が一の位の数の何倍だとかパターンはいくつかありますが、基本的な解き方は同じです。2ケタの自然数を「x」と「y」で表す方法をマスターしておきましょう。2ケタの自然数を「x」「y」で表すこの問題で求めるものは2ケタの自然数ひとつです。では、これを「x」にするのかというと、それは間違い。2ケタの自然数を「x」と「y」で表すのです。十の位の数…「x」一の位の数…「y」というわけです。【注意】2ケタの自然数は「xy」ではありません!文字式で「xy」とは「x」かける「y」を意味します。なので、仮に「x」が5、「y」が4だとすると、「xy」=5×4=20となります。十の位の数…「x」一の位の数…「y」とするのであれば、2ケタの自然数は「10x+y」です。これなら「x」が5、「y」が4のとき、50+4=54となります。で、十の位の数と一の位の数を入れかえてできる2ケタの自然数(文章題でよく出てきます)は、「10y+x」となります。この2つの表し方を覚えておきましょう。十の位の数…「x」、一の位の数…「y」とすると、2ケタの自然数=10x+y十の位と一の位を入れかえて出来る自然数=10y+x例題を解いてみる2ケタの自然数の表し方がわかれば、あとは問題を解いてみましょう。十の位の数…「x」一の位の数…「y」とします。「十の位と一の位の和は11」を式にしたのが下記。x+y=11「十の位と一の位の数を入れかえて出来る自然数はもとの自然数よりも27小さい」は下記。十の位と一の位の数を入れかえて出来る自然数…「10y+x」もとの自然数…「10x+y」「27小さい」は、27を足せば等しいと読み替えて式にします。10y+x+27=10x+y2つ式ができたので、あとは連立方程式としてこれを解きます。x+y=11 → y=11−x(*1)10y+x+27=10x+y → 9y−9x=−27(*2)(*2)に(*1)を代入9(11−x)−9x=−2799−9x−9x=−2799−18x=−27−18x=−126x=7y=11−xy=4x=7、y=4答え.2ケタの自然数は74となります。
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  • 中二数学「一次関数:変化の割合の文章題」
    一次関数(変化の割合)【例題:一次関数×変化の割合】xが3から7に増えたとき、yは−5から3まで増えました。このときの変化の割合を求めよ。一次関数の勉強では独特の用語がいくつか出てきます。「変化の割合」もそのひとつ。「変化の割合を求めよ」と言われても、意味がわからなければ求めようがないですよね。「増加量」など関連ワードとともに覚えておきましょう。変化の割合とは変化の割合とは、xの増加量に対するyの増加量のこと。式にすると次のようになります。これだと増加量の意味がわからないと意味不明のままですよね。増加量とは、変化した値の量のことです。例題では「xが3から7に増えた」となっています。3から7に増えたので、変化したのは7−3=4。この場合の増加量は「4」というわけです。減っていても増加量注意しないといけないのは変化した値が減っていても増加量ということです。「xが9から2に減った」ときの増加量は2−9=−7。増加量は「−7」とマイナスがつきます。増加量の求め方=変化後の値−変化前の値この式を覚えておきましょう。例題の解き方ここまでわかれば例題はカンタンに解けるハズです。まずは、xとyの増加量を求めます。xの増加量=7−3=4yの増加量=3−(−5)=8マイナスがある場合(例題だとy)は符号に気をつけましょう!xとyの増加量がわかればあとは式にあてはめるだけ。xが分母になることを間違えないようにしてください。答え.変化の割合=2
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  • 中二数学「一次関数:変域に関する文章題」
    一次関数(変域)【例題:一次関数×変域】300mlで満杯となる水槽にすでに60mlの水が入っている。ここに毎分30mlの水を水槽が満杯になるまで加えた。水を入れ始めてからx分後の水槽の水の量をyとしたとき、水槽が満杯になるまでのxとyの変域を求めよ。長い文章題は、それだけで解く気がなくなる人もいるかもしれません。読みだけで疲れてしまう…みたいな。ただ、文章題は文章が長いほうが解くヒントも多いのでカンタンです。まずは言葉の意味を確認することから始めましょう。変域とは変域(へんいき)なんて言葉は日常生活では使わないですよね。数学でしか聞くことがないワードです。変域とは…変化できる領域のこと領域なんてわざとややこしそうな言葉を使ってますが範囲と同じ意味です。で、何が変化するかというと「x」や「y」です。つまり、変域を求めよというのは、「x」や「y」がどんな値となるかの範囲を求めよということです。なので、答えは「ココからココまで」というようになります。「ココからココまで」は不等式で表します。こんな(↓)感じです。1≦x≦10これが変域を求めよと言われたときの答え方です。例題の解き方長い文章の例題を確認していきます。文章が長いときはポイントを箇条書きにします。水槽…300mlで満杯、60ml入っている毎分30mlの水を加えるy=水を入れ始めてからx分後の水槽の水の量で、求めるのは「x」と「y」の変域です。まず最初に何分でこの水槽が満杯になるかを求めます。「300mlで満杯、60ml入っている」ので、残りは240ml分。ここに「毎分30mlの水を加える」ので、240÷30=8分となります。この8分がx分後の「x」の最大となります。最小は水を入れ始める前の「0」分。これが「x」の変域となります。0≦x≦8「y」は「水を入れ始めてからx分後の水槽の水の量」のことです。「x」が「0」のときは、「y」も「0」ではありません!この問題では水槽にすでに60mlの水が入っています。なので、これが「y」の最小値。最大値は満杯になったときなので、300mlですよね。「y」の変域は次のようになります。60≦y≦300以上となります。
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  • 中二数学「一次関数:バネと重りの文章問題」
    一次関数(バネと重り)【例題:一次関数×バネと重り】下げたおもりの重さに比例するバネがあります。このバネに7gのおもりを下げると長さが29cmになり、15gのおもりをつけると45cmになりました。xgのおもりをつけたときのバネの長さをycmとして、yをxの式で表しなさい。バネの長さとおもりの重さの関係についての問題は一次関数の文章題で定番となっています。考え方さえ知ってしまえばサービス問題といえるぐらいカンタンです。しっかり覚えておきましょう。おもりがないときのバネの長さを忘れずにまずは例題のポイントを書き出します。おもり7g⇒バネ29cmおもり15g⇒バネ45cmおもり「x」g⇒バネ「y」cm「yをxの式で表しなさい。」というのは、「y=●x+●」の形にしなさいという意味です。これは一次関数の文章題で共通していますので、覚えておきましょう。おもりとバネの問題で忘れてはならないのは最初のバネの長さです。おもりを下げていないときもバネには長さがあります。おもり7gでバネの長さが29cmというのは、7gでバネが29cm伸びたのではありません。ココを勘違いしないように!もともとのバネの長さから何センチか伸びて29cmになったということです。a:おもさ1gに対するバネの伸び、b:もともとのバネの長さこの問題を解くときは、おもさ1gに対するバネの伸びを「a」、もともとのバネの長さを「b」とするのがポイント。こうすると、おもり「x」g、バネ「y」cmが次のように表わせます。y=ax+b問題文から条件が2つ与えられています。おもり7g⇒バネ29cmおもり15g⇒バネ45cmこれを「y=ax+b」にあてはめると、29=7a+b45=15a+bこの連立方程式を解きます。b=29−7a45=15a+29−7a16=8aa=229=14+bb=15あとはa=2、b=15を式にあてはめればOK。y=2x+15これが答えとなります。
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  • 中二数学「水槽が出てくる一次関数の定番文章問題」
    一次関数(水槽)【水槽が出てくる一次関数の文章問題】80リットルで満水となる水槽にすでに17リットルの水が入っています。ここに満水になるまで毎分9リットルの水を入れていきます。水を入れ始めてからx分後の水槽の水の量をyリットルとしたとき、yをxの式で表しなさい。水槽(すいそう)に水を溜めていくというのは一次関数の定番文章問題のひとつです。「蛇口が2つ」「排水もしている」などいろいろなパターンの問題がありますが、まずは上の例題で基本となる考え方を覚えておきましょう。図に書いて整理する水槽の問題が出たときはカンタンな図を書いてポイントを整理しましょう。上の例題であれば下記のような図になります。この問題でのポイントは3つです。80リットルで満水もともと17リットル入っている毎分9リットルの水が増えるで、問題文から「x」と「y」も整理します。「x」 … 水を入れ始めてから何分後か「y」 … 水槽の水の量1分後と2分後を考えるまず、水を入れ始めてから1分後の水の量を考えてみます。「もともと17リットル」あるところに、「毎分9リットル」の水を入れるので、17+9=26リットルとなります。(毎分9リットルとは1分間で9リットルという意味です。)2分後は、「毎分9リットル」が2分間入ったので、9×2=18リットル。もともとあった17リットルを足すと35リットルとなります。「x」と「y」を表にすると下記のようになります。x分後yリットル126235344……これを式にすれば答えとなります。式にする考え方x分後の水の量とは、x分間で増えた水の量+もともと入っていた水の量となります。水槽から排水されていない場合はこうなります。しっかり覚えましょう。x分後の水の量 = もともとの水の量 + x分間で増えた(入れた)水の量「x分後の水の量」とは「y」のことです。なので、これに数字をあてはめれば「y=…」の式になります。もともとの水の量は問題文から17リットルとわかります。x分間で増えた(入れた)水の量も、「毎分9リットルの水が増える」から計算できます。「毎分9リットルの水が増える」とは「1分あたり9リットルの水が増える」という意味です。1分なら9×1=9リットル2分なら9×2=18リットルx分なら9×x=9xリットルx分間で増えた(入れた)水の量とは「9x」となります。以上で求めたものを下記の式にあてはめたのが答え。x分後の水の量 = もともとの水の量 + x分間で増えた(入れた)水の量答え.y=9x+17(17+9xをxを前にして入れかえています。)
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  • 中二数学「電話料金プランが出てくる一次関数の定番問題」
    一次関数(料金プラン)【電話料金プランが出てくる一次関数の文章問題】ある電話会社にはAプランとBプランの2つの料金プランがあります。Aプランは基本料金(月額)が2480円で1分ごとの利用料が6円。Bプランは基本料金(月額)が980円で1分ごとの利用料が10円です。基本料金(月額)は使用時間に関わらず毎月固定で必要となる金額です。1ヶ月でx分使用したときの月額料金をy円として、AプランBプランそれぞれについてyをxの式で表しなさい。電話料金プランを一次関数の式にするというのも定番問題になっています。スマホ利用料など日常生活で馴染のあるモノを勉強にも取り入れようという意図があるのかもしれません。実際の料金プランは、家族割りなど条件がもっと複雑なのですが、中学数学の文章題で出てくるプランはシンプルです。ポイントを整理しておきましょう。長い文章題は表にするパッと見て上の文章題は文字だらけで長いですよね。文章を見ただけでイヤにならないでください。長い文章のほうが問題の中身はカンタンです。(文章が長いということは、問題を解くヒントが多いということだからです。)ただし、文章だけではポイントがつかめないので表にして整理しましょう。プラン基本料金1分あたり利用料A2480円6円B980円10円これで問題文がスッキリしました。xとyが何を表わすかも問題文で定義されています。x…1ヶ月の使用時間(分)y=x分使用したときの月額料金(円)Aプラン、Bプランそれぞれについて「yをxの式で表しなさい」という問題です。まずはAプランから。1分あたり利用料が6円なので、x分使った場合は6x円。これに固定の基本料金(2480円)を加えたものがAプランでの月額料金となります。y=6x+2480これがAプランについての答え。カンタンですよね。つづいてBプラン。1分あたり利用料が10円なので、x分使った場合は10x円。基本料金は980円。y=10x+980これがBプランについての答えです。答え.Aプラン…y=6x+2480、Bプラン…y=10x+980連立方程式の解が意味するものは?Aプラン、Bプラン2つの式ができましたが、これを連立方程式として見ると解が何を意味するか分かりますか?y=6x+2480y=10x+980連立方程式として解くと、x=375、y=4730となります。xとyが何を表わしていたか覚えていますか?x…1ヶ月の使用時間(分)y=x分使用したときの月額料金(円)つまり、375分使用したときの月額料金はAプランでもBプランでも4730円というわけです。同じ金額になる利用時間が連立方程式の解というわけです。覚えておきましょう。
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  • 中二数学「増加量が出てくる一次関数の問題」
    一次関数(増加量)中学2年の一次関数で出てくる「増加量」は紛らわしい用語のひとつです。増加量なのに「増えている」とは限らないからです。用語から中学数学のポイントを覚える「増加量」まずは、次の問題を解いてみてください。【練習問題】一次関数「y=−3x+5」において、xが4から6まで変化したときのyの増加量を求めよ。解き方としては、単純にxが4のときと6のときのyの値を求めます。x=4のときy=−3(×4)+5y=−12+5y=−7x=6のときy=−3(×6)+5y=−18+5y=−13xが4から6まで変化したときのyの値は−7から−13に変化しています。「−7から−13に」って減ってんじゃん! と思いますよね。「増加量を求めよ!」との問いなのに減っています。ワケわからなくなりますよね。ただ、これは「解なし」でも問題文のミスプリでもありません。正負の数を思い出してみる中学1年の数学で「正負の数」を勉強したことを覚えていますか。1学期の最初に習う単元です。【正負の数の問題】「3時間前」を負の数を使って表しなさい。覚えてますか?答えは「−3時間後」です。日本語としてはヘンな表現方法なのですが、数学ではこれがアリなんです。正反対のことを符号を変えて表現するのです。「10減少した」を「増加した」にするには符号を変えればいいというわけです。「−10増加した」=「10減少した」です一次関数の「増加量」にもこの考え方を用います。練習問題の解答xが4から6まで変化したときのyの値は−7から−13に変化しました。増加量を求める式は次の通りです。【増加量を求める式】変化後の値−変化前の値この式に練習問題のyの値をあてはめて計算します。−13−(−7)=−6これがyの増加量です。答え.−6「−6増加した」というのは「6減少した」と同じ意味です。考えすぎて間違えてしまわないように「増加量を求めよ」だからマイナスが答えだとオカシイ…なんて考えてしまうのは間違い!日本語と数学での用語の使い方には違いがあります。混同しないように気をつけましょう。
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  • 中二数学「場合の数で間違いやすい問題はコレ」
    「場合の数」で間違いやすい問題はコレ中学2年数学の確率の単元の最初にならうのが「場合の数」です。この「場合の数」には定番の間違いやすい引っかけ問題があるので気をつけましょう。まずは「引っかけ」じゃないノーマルな問題から確認します。場合の数の基本問題【問題−1】1,2,3から数字を2つ選んでできる2ケタの数字は何通りありますか?(ただし、同じ数字を2つ選ぶことはできません)これが教科書でも最初のほうに出てくる場合の数の問題です。樹形図を使って整理すると次のようになります。1,2,3の3つの数字なので、最初の数字は3通り。同じ数字を2つ選ぶことはできないので、2番目に選ぶ数字は2通りずつ。3通り(最初の数字)×2通り(次に選ぶ数字)=6通り が答えとなります。同じ数字を選べないので、2番目の数字が「最初の数字の組合せ数−1」となるのがポイント。数が多くて樹形図を書くのが大変なときは、計算式にあてはめて解きます。練習してみましょう。【問題−2】1,2,3、4,5,6,7,8,9までの数字を2つ選んでできる2ケタの数字は何通りありますか?(ただし、同じ数字を2つ選ぶことはできません)最初の数字は9通り(1から9まで)。次の数字は8通り(9通り−1)。よって、答えは9×8=72通りとなります。次が引っかけ問題です。場合の数のひっかけ問題【問題−3】0,1,2,3,4から数字を2つ選んでできる2ケタの数字は何通りありますか?(ただし、同じ数字を2つ選ぶことはできません)最初の数字は5通り(0から4まで)。次の数字は4通り(5通り−1)。よって、答えは5×4=20通り とするのは間違いです。ゼロに注意!「01」「02」など十の位が「0(ゼロ)」となるのは2ケタの数字はありません。つまり、上の問題では最初の数字に「0(ゼロ)」を選ぶことはできないのです。最初の数字として考えられるのは、「1,2,3,4」の4通り。じゃぁ、次の数字は3通り(4通り−1)。とするのも間違い!次の数字(2番目の数字には0が来てもOKです。)「10」「20」は2ケタの数字ですよね。なので、2番目の数字の組み合わせは4通りです。よって、答えは4×4=16通りとなります。表で整理すると次のようになります。色のついているところが2ケタの数字です。ケアレスミスを防ぐ考え方場合の数の「数字を作れ問題」で「0(ゼロ)」が出てきたら要注意!
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  • 中二数学「場合の数の組合せ問題の解き方」
    総当たりリーグ戦の試合数を求めよ場合の数の組合せ問題とは次のような問題です。【問題−1】A、B、C、D、Eの5チームでそれぞれ1回ずつ対戦するときの試合数を求めなさい。総当たり戦の計算方法上の問題は5チーム参加の総当たりリーグ戦の試合数を求めよというのと同じ意味です。わかりやすく表にしてみます。ABCDEA−○○○○B−○○○C−○○D−○E−○印を数えれば試合数となります。答えは10試合です。ただ、テストで表を書いている時間はないと思います。そこで計算式を使って解く解き方を解説します。計算式を使って場合の数「組合せ問題」を解く上の表はリーグ戦の星取表形式でした。5チームの中から対戦する2チームを選び出すという視点で作りなおした表が下記になります。試合ABCDE1試合目AB2試合目AC3試合目AD4試合目AE5試合目BC6試合目BD7試合目BE8試合目CD9試合目CE10試合目DE試合数を確認するための表なので、1試合目から4試合目までAばかり試合が続いて不公平、間隔があいてるDが有利!というのは考えなくてOKです。これがすべての組み合わせなので、全部で10通りです。このとき表の中のA、B、C、D、Eのそれぞれの数に着目します。A、B、C、D、Eとも4つずつですよね。全部で5チームあって、全チームと対戦するので、各チームの試合数は自分のチームを引いた4(5−1)試合です。ということは、5チーム×それぞれ4試合=20試合…と考えるのは間違い。これではA対Bの試合をAチーム側でもBチーム側でも数えてしまってます。2重に数えていることになるので、2で割ったのが正しい答え。20÷2=10試合となるわけです。公式にすると次のようになります。【n種類のなかから2種類を選んだときの組合せ数】n×(n−1)÷2下のように使います。【5種類のなかから2種類を選んだときの組合せ数】5×(5−1)÷2(5チームで総当たりのリーグ戦を行うときの計算と同じ)場合の数「組合せ問題」のトクする解き方「n×(n−1)÷2」では、先に÷2を計算するほうが簡単です。n×(n−1)はどちらかが必ず偶数になります。偶数のほうを2で割ってから、かけ算をしたほうが計算ミスが防げます。
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  • 中二数学「サイコロを2つ振る確率の問題」
    サイコロを2つ投げる確率の問題の基本パターン2つのサイコロを投げて確率を求める問題は基本出題パターンが決まっています。覚えておけば得点源にできるので、このページを参考にしてみてください。サイコロ確率問題パターン(1)同じ目の確率【問題・1】2つのサイコロを投げたときに同じ目が出る確率を求めよ。2つサイコロを投げて、それぞれの目が「1」と「1」、「2」と「2」のように同じになる確率を求めよという問題です。これは表にして考えてみます。2つサイコロをA、Bとし、Aのサイコロの目を一、二、三…と漢数字で、Bのサイコロの目を1、2、3…と算用数字で表すと、出る目のパターンが下記の表になります。一二三四五六123456出る目のパターンはマス目の数なので、6×6=36通り。このうち同じ目のところに「●」をつけてみます。一二三四五六1●2●3●4●5●6●●は全部で6つ。全36通りのうち6通りが同じ目になるというわけです。よって、36分の6=6分の1が答えとなります。2つサイコロを投げて確立を求めるときは、分母は36サイコロの目は1から6までと決まっています。このため2つサイコロを投げて、何らかの確立を求めるときは分母が6×6=36となります。答えを出すときは約分を忘れないようにしましょう。応用:サイコロの目が違う確率は?上の問題ではサイコロの目が同じ確率を求めましたが、違う確率はどうでしょうか?表にして…と面倒なことをしなくても計算で求められます。2つサイコロを投げたときの目は同じか違うかの2パターンしかありません。2パターンしかないということは、この2パターンで100%ということ。ということは、片方がわかれば、もう片方は100%から引けばイイのです。同じ目になる確率が6分の1なので、違う目になる確率は6分の5となります。(6分の1+6分の5=6分の6で100%)サイコロ確率問題パターン(2)出る目の和【問題・2】2つのサイコロを投げたときに出る目の和が3の倍数になる確率を求めよ。2つサイコロを投げて、それぞれの目が「1」と「2」、「2」と「4」のように足すと3の倍数になる確率を求めよという問題です。まずは、考えられる3の倍数を書き出します。3、6、9、12まで。サイコロの目は6までなので、2つのサイコロの目の和の最大は12です。表で3、6、9、12になるところに「●」をつけてみます。一二三四五六1●●2●●3●●4●●5●●6●●●は全部で12コ。全36通りのうち12通りが3の倍数というわけです。よって、36分の12=3分の1が答えとなります。サイコロ確率問題パターン(3)2種類のサイコロ【問題・3】2つのサイコロA、Bを投げたときに、Aのサイコロの目がBのサイコロの目より1大きくなる確率を求めよ。2つサイコロを投げて、サイコロAの目が「1」、サイコロBの目が「2」となるような確率を求めよという問題です。2つのサイコロを区別していてサイコロBの目が「1」でサイコロAの目が「2」のようなケースは含めないのが特徴です。組合せではなく順列の考え方になっています。表に「●」をつけて考えます。サイコロAの目…一、二、三、四、五、六サイコロBの目…1、2、3、4、5、6一二三四五六1●2●3●4●5●6●は全部で5コ。全36通りのうち5通りです。よって、36分の5が答えとなります。
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  • 中二数学「確率」赤玉・白玉を取り出す問題の解き方
    「確率」赤玉・白玉を取り出す問題の解き方中学数学で習う確率の問題の定番が「赤玉・白玉」問題です。赤い玉と白い玉を同じ袋の中に入れて、玉を取り出したときの確率を求めるもの。この問題は解き方・考え方を覚えておけば難しくありません。順番に見ていきましょう。中学数学「確率」での赤玉・白玉問題【問題・1】赤玉2個と白玉3個を同じ袋の中に入れ、同時に2個の玉を取り出したとき、少なくともどちらかひとつが赤玉になる確率を求めよ。取り出す2個のパターンとしてありえるのは以下の3つ。赤−赤赤−白白−白少なくとも1個は赤なので「答えは3分の2」とならないことはわかりますよね。袋の中に「赤玉2個と白玉3個」が入っている」ことがポイントです。赤1、赤2…というように玉に数字をつけて区別する。赤玉・白玉問題は、「赤玉」「白玉」を1つ1つ別の玉として区別するとわかりやすい。上の問題では「赤玉2個と白玉3個」とあります。これを1つ1つ別に区別すると下記のようになります。赤1赤2白1白2白3これで全部で5個。この中から2つを取り出すというわけです。5個の中から2個を選ぶ組合せの数の求め方は場合の数のところで勉強したのを覚えてますか?(忘れてしまった人は下記の参考記事をチェック)場合の数「組合せ問題」で知ってると得する解き方公式を覚えずに組合せの数を求める問題を解く方法複数のモノの中から2つを選ぶときの組み合わせの数はリーグ戦の試合数と同じです。赤1、赤2、白1、白2、白3でリーグ戦を行ったときの試合数を求めます。赤1赤2白1白2白3赤1−○○○○赤2−○○○白1−○○白2−○白3−○が10個で10試合となります。組合せ数は「10」となります。このうち赤1か赤2が出場する試合に●をつけてみます。赤1赤2白1白2白3赤1−●●●●赤2−●●●白1−○○白2−○白3−●は全部で7個。全10試合中7試合は「赤1」か「赤2」チームが出場することになります。赤玉2個と白玉3個から2個を同時に摂り出したときに少なくとも1個が赤玉になる確率と同じです。よって、答えは10分の7となります。
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  • 中学数学「確率」赤白青の3種類の球を取り出す応用問題
    中学数学「確率」赤玉・白玉・青玉を取り出す応用問題中学数学での確率の定番問題「赤玉・白玉」問題に続いて出題されるのが、もう一種類加えた「赤・白・青玉」問題です。今回はこの問題を考えてみます。赤玉・白玉問題についての解説はコチラをご覧ください。(中学数学「確率」赤玉・白玉を取り出す問題の解き方)中学数学「確率」での赤・白・青玉問題【問題・1】同じ1つの袋の中に赤玉4個、白玉3個、青玉2個を入れ、同時に2個の玉を取り出したとき、少なくともどちらかひとつが青玉になる確率を求めよ。「少なくともどちらかひとつ」なので青玉2つのケースも含まれます。この問題の考え方は赤玉・白玉問題のときと同じです。赤1、赤2…というように同じ色の玉に数字をつけて区別します。赤1赤2赤3赤4白1白2白3青1青2これで全部で9個。この中から2つを取り出すというわけです。9個の中から2個のものを取り出すときの組合せ数を求めます。(場合の数のときに説明した内容です。下記の参考記事で解説)場合の数「組合せ問題」で知ってると得する解き方公式を覚えずに組合せの数を求める問題を解く方法【9個の中から2個のものを取り出すときの組合せ数】9×8÷2=36通り2個を取り出す組み合わせ数なので、9チームでリーグ戦を行ったときの試合数と同じです。全部で36通りなので、これが求める割合の分母になります。分子は「少なくともどちらかひとつが青玉になる場合の数」です。青玉は2つ。青1青2「青1」が選ばれたときの、もう一つの球は全部で8種類。赤1赤2赤3赤4白1白2白3青2「青2」が選ばれたときの、もう一つの球も全部で8種類。赤1赤2赤3赤4白1白2白3青28+8=16 となりますが、「青1−青2」と「青2−青1」は同じ組み合わせです。なので、16−1=15 が「少なくともどちらかひとつが青玉になる場合の数」です。これが分子となります。ケアレスミスに注意よって、36分の15が答え…としてしまってはケアレスミス。この数字は約分できます。答え.12分の5解き方のヒント赤玉、白玉、青玉と3つになると複雑に感じてしまう人もいるかもしれませんが、赤1、赤2…というように同じ色の玉に数字をつけて考えるのがポイントです。
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