式による証明問題を解くための基本【式による証明問題（基本）】ｎを整数として、次の数を式で表せ。（１）奇数、（２）７の倍数、（３）連続する３つの整数式による証明問題を解くためには、まず数の表し方を覚えなければなりません。基本的なものから覚えていきましょう。ｎを整数として数を文字式で表す一番カンタンなのは偶数。偶数とは、２，４，６，８，１０…のことですよね。偶数の共通点は２で割り切れること。２で割り切れるというのは、２の倍数になっているということです。このため、ある整数「ｎ」を２倍したものは、必ず偶数になります。「整数」が何を指すのかを忘れちゃった人は復習。【ポイント整理】整数とは、−２，−１，０，１，２…のこと。小数や分数は整数には含まれない。正の整数（１，２，３…）のことを自然数と呼ぶ。ある整数「ｎ」を２倍したものを文字式で表すと「２ｎ」。これが偶数になります。偶数がわかれれば奇数はカンタンです。奇数とは、１，３，５，７，９…のこと。偶数との関係に注目すると、偶数から１を引いたものが奇数となります。これを式で表すと、「２ｎ−１」。奇数は「２ｎ−１」となります。ある数の倍数は？偶数のところで、ある整数「ｎ」を２倍したものを文字式で表すと「２ｎ」と出てきましたね。ある数の倍数の表し方はコレ。３の倍数なら「３ｎ」。４の倍数なら「４ｎ」。５の倍数なら「５ｎ」。となります。連続する整数連続する整数の表し方は、整数の性質に気がつけばカンタンです。整数は「１」ずつ増えていきます。「ｎ」の次は「ｎ＋１」、その次は「ｎ＋１＋１」＝「ｎ＋２」。これが連続する整数の表し方です。式による証明問題（基本）の解答（１）奇数…２ｎ−１（２）７の倍数…７ｎ（３）連続する３つの整数…ｎ、ｎ＋１、ｎ＋２

式による証明（連続する数）【式による証明問題（連続する数）】連続する３つの整数の和は３の倍数となることを文字式を使って証明せよ。「証明せよ」と言われても何をどうすれば…ですよね。ただ、中学数学で出題される証明問題は、パターンさえ覚えてしまえばカンタンです。「連続する数の和が…」というのは文字式による証明の定番問題です。解き方を覚えておきましょう。連続する数の和の証明問題の解き方問題文に文字式を使って証明せよとあるので、まずは問題文を文字式に変換します。最初に「連続する３つの整数」を文字式にします。整数とは「１」ずつ増えていく数のことです。「ｎ」を整数とすると、次の整数は「ｎ＋１」、その次は「ｎ＋２」となります。連続する３つの整数とは、「ｎ」「ｎ＋１」「ｎ＋２」となります。【なぜ「ｎ」を使うのか気になった人は…】いきなり「ｎ」が出てきたことに疑問を持つ人もいるかもしれません。「ｘ」とか［ａ」じゃなくて「ｎ」の理由は？と。この「ｎ」にはあまり深い意味はありません。この場合は「ｎ」を使うとなんとなく覚えておけばＯＫ。数学で細かいことを気にしすぎてしまうと深みにはまることになるので、スッと受け入れておきましょう。連続する３つの整数の和は…連続する３つの整数を文字式で表すことができたら、次はその和も文字式にします。「ｎ」＋「ｎ＋１」＋「ｎ＋２」これが連続する３つの整数の和を文字式で表したものです。この文字式をまとめると次のようになります。ｎ＋ｎ＋１＋ｎ＋２＝３ｎ＋３３の倍数とは３の倍数とは、３で割り切れる数のことです。「ｎ」を整数として、「３ｎ＋３」で表せる数は３で割り切れますよね。ここまでをまとめれば答えとなります。式による証明問題（連続する数）の答えｎを整数とすると、連続する３つの整数は、ｎ、ｎ＋１、ｎ＋２と表せる。この３つの整数の和は、ｎ＋ｎ＋１＋ｎ＋２＝３ｎ＋３となる。ｎは整数なので、３ｎ＋３は３の倍数である。よって、連続する３つの整数の和は３の倍数となる。別解連続する３つの整数をｎ−１、ｎ、ｎ＋１としても正解です。この場合、３つの整数の和は、ｎ−１＋ｎ＋ｎ＋１＝３ｎとなります。ｎは整数なので、３ｎは３の倍数となります。

式による証明（２ケタの自然数）【式による証明問題（２ケタの自然数）】２ケタの自然数と、その自然数の十の位と一の位の数を入れかえた自然数の和が１１の倍数となることを証明せよ。ただし、最初の自然数の一の位は「０（ゼロ）」以外とする。文字式による証明問題では２ケタの自然数に関する問題も定番です。問題文の意味を確認問題文の意味は分かりますか？具体的な数字で考えてみましょう。例えば、２ケタの自然数を「７６」とすると、その自然数の十の位と一の位の数を入れかえた自然数とは「７」と「６」を入れかえた「６７」のこと。その和とは、７６＋６７のこと。これが１１の倍数になるというわけです。７６＋６７＝１４３です。１４３＝１１×１３で１１の倍数となっています。７６以外の数字でも、常に１１の倍数となることを証明せよという問題です。まずは、２ケタの自然数の表し方から考えます。２ケタの自然数を文字式で表すと十の位の数を「ａ」、一の位の数を「ｂ」とすると、２ケタの自然数は「１０ａ＋ｂ」となります。具体的な数で確認しましょう。４９で考えてみます。十の位の数は「４」、一の位の数は「９」です。４×１０＋９＝４９ですよね。十の位の数に１０を掛けたものに、一の位の数を足すだけです。十の位と一の位の数を入れかえた自然数問題文には「十の位と一の位の数を入れかえた自然数」が出てきます。これも文字式で表します。最初の２ケタの自然数を「１０ａ＋ｂ」とするなら、十の位と一の位の数を入れかえた自然数は「１０ｂ＋ａ」となります。これで２つの自然数が文字式になりました。２つの自然数の和は２ケタの自然数…「１０ａ＋ｂ」、十の位と一の位の数を入れかえた自然数…「１０ｂ＋ａ」から２つの自然数の和は次のようになります。【２つの自然数の和】「１０ａ＋ｂ」＋「１０ｂ＋ａ」この式を整理すると、【２つの自然数の和】「１０ａ＋ｂ」＋「１０ｂ＋ａ」＝１１ａ＋１１ｂ「１１」がａとｂに共通しているのでカッコでくくると、１１（ａ＋ｂ）（ａ＋ｂ）は整数なので、１１の倍数となるというわけです。２つの数字の差ちなみに、これ例題が２つの数字の差となった場合は、９の倍数となります。【２つの自然数の差】「１０ａ＋ｂ」−「１０ｂ＋ａ」この式を整理すると、【２つの自然数の差】「１０ａ＋ｂ」−「１０ｂ＋ａ」＝９ａ＋９ｂあとの考え方は「１１」のときと同じです。あわせて覚えておきましょう。