組合せの数を求める問題(中学数学)

公式を覚えずに組合せの数を求める問題を解く方法(中学数学)

「7枚のカードから5枚のカードを選ぶときの組み合わせの数を求めよ」のような組み合わせの数を求める問題は公式を使って解くことができます。

 

組合せの数を求める公式】n個からr個を取り出したときの組み合わせの数

 

「7枚のカードから5枚のカードを選ぶ」にあてはめると次のようになります。

(7×6×5×4×3)÷(5×4×3×2×1)

 

あとは計算するだけ、分母と分子にある「5×4×3」が約分できるので計算は難しくないのですが、公式自体はややこしいですよね。nとかrとか出てきちゃうし。

 

実は、中学数学レベルであれば、公式を覚えていなくても解くことができる問題が少なくありません。その方法を紹介します。

 

公式を使わずに組合せの数を求める問題を解く方法

上で紹介した問題(「7枚のカードから5枚のカードを選ぶときの組み合わせの数を求めよ」)は、7チームで総当たりリーグ戦を行うときの試合数と同じになります。

 

総当たりリーグ戦の試合数の求め方は覚えてますか?

リーグ戦の試合数 = チーム数×(チーム数−1)÷2

 

7チームだと下記のようになります。

7×6÷2=21

 

組合せの数を求める公式で計算したのと同じ結果になります。

(7×6×5×4×3)÷(5×4×3×2×1)=21

 

偶然ではありません。
ポイントとなるのは「」。

 

リーグ戦の試合数は7チームの中から2チームの組み合わせ数を考えるのと同じです。

 

「7枚のカードから5枚のカードを選ぶ」では、残りが7−5で2となっているのがポイント。
選ばれていない2枚のカードの組み合わせ数=選んだ5枚のカードの組合せ数です。

 

下の2つの図を見比べてみるとわかります。

 

 

「7枚のカードから5枚のカードを選ぶ」組合せ

 

7チームのリーグ戦数

 

残りが2となる組合せ数を求める問題で使える

  • 7枚の中から5枚を選ぶ
  • 8個の中から6個を選ぶ
  • 30人の中から28人を選ぶ

など残りが「2」となるときは、上のようにリーグ戦の試合数を求める方法で計算できます。

 

「そんなに都合よく残りが2になるかよ」と思うかもしれませんが、中学数学レベルであれば、こうした都合の良い数字の問題がかなり出題されています(手元の問題集にも複数あり)。

 

「30人の中から28人を選ぶ」なんて公式にあてはめようとすると、30×29…と計算がややこしくなります。「リーグ戦方式」で計算できることを覚えておきましょう。

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