中三数学文章題:二次方程式の応用問題の解き方

「二次方程式×文章題」の問題パターン(1)

【二次方程式の文章問題(1)】
大小2つの自然数があります。この2つの自然数の差は3。2つの自然数の積は、2つの自然数の和を3倍し、1を加えたものに等しくなります。この2つの自然数を求めよ。

 

二次方程式では決まったパターンの文章題が出題されます。
大小2つの自然数」というのもそのひとつ。

 

解き方を覚えてしまいましょう。

 

問題文を式にする

数学の問題をムリヤリ日本語にすると、どうしても上の例題のように一読して「何、言ってるのかわからない」文になってしまいがちです。まずは、文章を式に直しましょう。

 

『大小2つの自然数があります』
記号にすることで後の文章を数式にしやすくします。

大小2つの自然数「x」、「y」

 

『この2つの自然数の差は3』
とは引き算の答えのこと。「x」「y」どっちを先にしてもOKです。

x−y=3

 

『2つの自然数の積は、2つの自然数の和を3倍し、1を加えたものに等しくなります』
とはかけ算の答えのこと。とは足し算の答えのことです。

xy=(x+y)×3+1
整理すると、
xy=3(x+y)+1

 

この問題で式にするときのポイントは日本語です。

  • 差…引き算の答え
  • 和…足し算の答え
  • 積…かけ算の答え

「差」「和」「積」の意味を整理しておきましょう。

 

方程式を解く

以上で「x」と「y」に関する方程式が2つできました。

  • x−y=3
  • xy=3(x+y)+1

あとは2つの方程式を解くだけ。

 

「二次方程式じゃなくて連立方程式じゃん」と思うかもしれませんが、「x−y=3」を「y=x−3」として、もう一つの式に代入すると二次方程式が現れます。

 

xy=3(x+y)+1

 

「y=x−3」を代入して、xについて解くと、

x=1、8

文章題の勉強なので二次方程式の解き方は割愛します。余計なことに時間をかけないのも勉強を効率化するテクニックです。

 

この「x=1、8」が文章題の答えではありません。
「x」は2つの自然数のひとつをあてはめたものです。もうひとつは「y」です。

 

y=x−3

をあてはめると、

y=−2、5

 

「x」、「y」それぞれは下記のとおりとなります。

(x、y)=(1、−2)、(8、5)

 

最後の「ひっかけ」、整数か自然数か?

例題では「大小2つの自然数があります」となっています。
自然数には負の整数は含まれません

 

なので、ここでの答えは「8と5」です。
問題文が「大小2つの整数があります」となっていれば「1と−2」も正解になります。

 

問題文が「自然数」となっているか「整数」となっているかまで確認しましょう。
ここで間違えるのはもったいないです。

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