因数分解での共通因数と二乗数の見つけ方を解説

因数分解での共通因数と二乗数の見つけ方

因数分解のときに必要な共通因数と二乗になっている数の見つけ方の解説です。

 

共通因数による因数分解

因数分解の最初に出てくるのが「共通因数でくくる」という公式です。

【問題】次の式を因数分解せよ。
3a+9b+21

この場合、3が共通因数となるので、3をカッコの外に出します。

【解答】3(a+3b+7)

 

必要なのは数字の最大公約数をみつけること

共通因数による因数分解で必要なのは数字の部分の最大公約数をみつけることです。
因数分解の前の単元が、素因数分解になっているのはこのためです。

 

素因数分解を使うことで、最大公約数を見つけることができます。
ただし、すべての数字を素因数分解していたのでは時間がかかってしまいます。

 

そこで、代表的な数字同士の最大公約数は覚えておくのが速く解くコツです。
暗記しなくても下記の早見表を眺めておけば、テスト中のひらめきにつながります。

 

表を眺めて、自分が見落としてしまいがちなところをチェックしておきましょう。

 

最大公約数早見表

最大公約数早見表
グレーになっている部分は同じ組み合わせがあるところです。

 

最大公約数早見表32-50
31は、12から30には1より大きい最大公約数がないので省略しています。

 

二乗による因数分解

因数分解の公式に「二乗−二乗」があります。

【因数分解の公式】
a²−b²=(a+b)(a−b)

例えば下記のような問題です。

【問題】次の式を因数分解せよ。
a²−25

25が5の二乗なので、答えは次のようになります。

【解答】(a+5)(a−5)

 

二乗の数を見つける

この問題を解くには数字が何かの数の二乗かどうかを判断しなければなりません。
まずは1から20までを二乗した数を覚えておきましょう。

 

この数字にピンとくる感覚を持っておくことが大切です。

 

1から20までの二乗数
二乗数元の数二乗数元の数
1112111
4214412
9316913
16419614
25522515
36625616
49728917
64832418
81936119
1001040020

 

下1ケタから何の二乗かを推測する

上では20までの二乗数を掲載しましたが、大きな数になったときに知っておくと便利な法則があります。下一桁の数字で、何の二乗の可能性があるかが決まっているのです。

 

自然数の場合にあてはまる法則です。中学の数学ではこれで十分です。

 

下一桁が1の数字は、下一桁が1か9の二乗
二乗数元の数二乗数元の数
11819
1211136119
4412184129
96131152139
168141240149
260151348159
372161476169
504171624179
656181792189
828191980199
1020110111881109

 

必ずなるわけではない

下一桁が1の数字は必ず下一桁が1か9の二乗になるわけではありません。
二乗になるなら元の数の下一桁は1か9という意味です(以降も同じ)。

 

下一桁が4の数字は、下一桁が2か8の二乗
二乗数元の数二乗数元の数
42648
1441232418
4842278428
102432144438
176442230448
270452336458
384462462468
518472608478
672482774488
846492960498
1040410211664108

 

下一桁が6の数字は、下一桁が4か6の二乗
二乗数元の数二乗数元の数
164366
1961425616
5762467626
115634129636
193644211646
291654313656
409664435666
547674577676
705684739686
883694921696
1081610411236106

 

下一桁が9の数字は、下一桁が3か7の二乗
二乗数元の数二乗数元の数
93497
1691328917
5292372927
108933136937
184943220947
280953324957
396963448967
532973592977
688983756987
864993940997
1060910311449107

 

下二桁が25の数字は、下一桁が5の二乗
二乗数元の数
255
22515
62525
122535
202545
302555
422565
562575
722585
902595
11025105

 

整理すると次のようになります。

二乗の数の見つけ方
  • 二乗数下一桁が 1→ 元の数の下一桁は1か9
  • 二乗数下一桁が 4→ 元の数の下一桁は2か8
  • 二乗数下一桁が 6→ 元の数の下一桁は4か6
  • 二乗数下一桁が 9→ 元の数の下一桁は3か7
  • 二乗数下二桁が25→ 元の数の下一桁は5
  • 上記以外の下一桁2,3,7,8は、自然数の二乗にはならない

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