素因数分解のやり方素因数分解のやり方を覚える前に、まず素数について知らなければなりません。まずは、定義を確認しましょう。【素数とは】素数とは、１と自分の二つしか約数を持たない自然数（１は素数ではない）。約数というのは割り切れる数のことです。例えば、４は１と自分（４）以外にも２で割りきれます。なので、４は素数ではありません。一方、５は１と自分（５）以外では割り切れません。なので、５は素数です。１から１００までで素数は２５個１から１００までだと素数は全部で２５個あります。下の図の赤字（２，３，５，７，１１…）が素数です。素因数分解とは素因数分解とは、その数を素数の積（かけ算）で表すことです。「１００を素因数分解せよ」とは、「１００を素数のかけ算で表せ」という意味です。素因数分解のやり方素因数分解のやり方は、素数で割っていくことで行います。例題で見てみます。【例題】８４０を素因数分解せよ。８４０を素数で割り、その答えをまた素数で割ります。できるだけ小さい素数で割るようにします。割れなくなるまで（最後が素数になるまで）コレを続けます。「割った数すべて」と「最後の答え（ここでは７）」のかけ算が答えとなります。答え．２³×３×５×７素因数分解で間違えやすいポイント素因数分解で間違いやすいのは、まだ割れるのに割るのをやめてしまうケースです。それでは正解になりません。これを見極めるポイントは最後の答えが素数かどうかということ。素数なら、もう割り切れませんが、素数以外なら割り切れます。この見極めができるようになるためには、素数を覚えておく必要があります。中学数学で取り扱う素数は、だいたい１００までぐらいです。１００までの素数表（下記）で覚えておきましょう。１００までの素数表１００までと言っても、よく出るのは２９ぐらいまでです。暗記しておきましょう。素因数分解の応用問題素因数分解を利用した典型的な応用問題に次のようなものがあります。【問題】２５２に自然数ａをかけたら、ある別の自然数の平方となった。最も小さい自然数ａを求めよ。この問題は素因数分解を利用して解くことができます。まず、２５２を素因数分解します。２５２＝２²×３²×７２５２には、６（２×３）の平方があり、残っているのは７です。これを平方にするには７をかければ良いことがわかります。答え．７（補足）２５２×７＝１７６４で４２の平方（４２×４２）となります。

因数分解での共通因数と二乗数の見つけ方因数分解のときに必要な共通因数と二乗になっている数の見つけ方の解説です。共通因数による因数分解因数分解の最初に出てくるのが「共通因数でくくる」という公式です。【問題】次の式を因数分解せよ。３ａ＋９ｂ＋２１この場合、３が共通因数となるので、３をカッコの外に出します。【解答】３（ａ＋３ｂ＋７）必要なのは数字の最大公約数をみつけること共通因数による因数分解で必要なのは数字の部分の最大公約数をみつけることです。因数分解の前の単元が、素因数分解になっているのはこのためです。素因数分解を使うことで、最大公約数を見つけることができます。ただし、すべての数字を素因数分解していたのでは時間がかかってしまいます。そこで、代表的な数字同士の最大公約数は覚えておくのが速く解くコツです。暗記しなくても下記の早見表を眺めておけば、テスト中のひらめきにつながります。表を眺めて、自分が見落としてしまいがちなところをチェックしておきましょう。最大公約数早見表グレーになっている部分は同じ組み合わせがあるところです。３１は、１２から３０には１より大きい最大公約数がないので省略しています。二乗による因数分解因数分解の公式に「二乗−二乗」があります。【因数分解の公式】ａ²−ｂ²＝（ａ＋ｂ）（ａ−ｂ）例えば下記のような問題です。【問題】次の式を因数分解せよ。ａ²−２５２５が５の二乗なので、答えは次のようになります。【解答】（ａ＋５）（ａ−５）二乗の数を見つけるこの問題を解くには数字が何かの数の二乗かどうかを判断しなければなりません。まずは１から２０までを二乗した数を覚えておきましょう。この数字にピンとくる感覚を持っておくことが大切です。１から２０までの二乗数二乗数元の数二乗数元の数1112111421441293169131641961425522515366256164972891764832418819361191001040020下１ケタから何の二乗かを推測する上では２０までの二乗数を掲載しましたが、大きな数になったときに知っておくと便利な法則があります。下一桁の数字で、何の二乗の可能性があるかが決まっているのです。自然数の場合にあてはまる法則です。中学の数学ではこれで十分です。下一桁が１の数字は、下一桁が１か９の二乗二乗数元の数二乗数元の数1181912111361194412184129961311521391681412401492601513481593721614761695041716241796561817921898281919801991020110111881109必ずなるわけではない下一桁が１の数字は必ず下一桁が１か９の二乗になるわけではありません。二乗になるなら元の数の下一桁は１か９という意味です（以降も同じ）。下一桁が４の数字は、下一桁が２か８の二乗二乗数元の数二乗数元の数42648144123241848422784281024321444381764422304482704523364583844624624685184726084786724827744888464929604981040410211664108下一桁が６の数字は、下一桁が４か６の二乗二乗数元の数二乗数元の数164366196142561657624676261156341296361936442116462916543136564096644356665476745776767056847396868836949216961081610411236106下一桁が９の数字は、下一桁が３か７の二乗二乗数元の数二乗数元の数93497169132891752923729271089331369371849432209472809533249573969634489675329735929776889837569878649939409971060910311449107下二桁が２５の数字は、下一桁が５の二乗二乗数元の数255225156252512253520254530255542256556257572258590259511025105整理すると次のようになります。二乗の数の見つけ方二乗数下一桁が　１→　元の数の下一桁は１か９二乗数下一桁が　４→　元の数の下一桁は２か８二乗数下一桁が　６→　元の数の下一桁は４か６二乗数下一桁が　９→　元の数の下一桁は３か７二乗数下二桁が２５→　元の数の下一桁は５上記以外の下一桁２，３，７，８は、自然数の二乗にはならない

因数分解での和と積の組み合わせ早見表因数分解の公式「ｘ²＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）」を解くために必要なのが、足して（ａ＋ｂ）になり、かけるとａｂになるａとｂを見つけることです。【例題】次の式を因数分解せよ。ｘ²＋４ｘ＋３上の例題なら、足すと「４」になり、かけると「３」になる２つの数字（ａとｂ）を見つけなくてはなりません。答えは「１と３」なので、（ｘ＋１）（ｘ＋３）となります。ただ、この数字の組み合わせを見つけるのが大変なんですよね。たくさん問題を解いて慣れるには、かなりの時間がかかってしまいます。そこで、足して●、かけて▲になる数字の組み合わせ早見表を作成しました。時間のあるときにこれを眺めて、どんな組み合わせがあるか覚えるようにしてください。すべて暗記する必要はありません。なんとなくでも覚えておけば、因数分解の問題を解くときに「あのあたりの数字かな」という手がかりになります。参考にしてみてください。因数分解で使える和と積の組み合わせ早見表中学数学の問題で出題されそうなものを掲載しています。和も積もプラスのパターン和積２つの数字の組み合わせ44225623682469337102571234812268153581644914279183692045101628102137102446102555111829112438112847113056122739123248123557133649134058144559積がマイナスになるパターン和積２つの数字の組み合わせ-3-4-41-2-3-31-1-2-21-1-12-430-4-220-16-441-12-341-20-452-8-242-15-352-24-463-10-253-18-363-28-474-12-264-21-374-32-485-14-275-24-385-36-496-16-286-27-397-18-29和がマイナスで積がプラスになるパターン和積２つの数字の組み合わせ-44-2-2-56-2-3-68-2-4-69-3-3-710-2-5-712-3-4-812-2-6-815-3-5-816-4-4-914-2-7-918-3-6-920-4-5-1016-2-8-1021-3-7-1024-4-6-1118-2-9-1124-3-8-1128-4-7-1227-3-9-1232-4-8-1336-4-9