二次方程式（文章題）【二次方程式の文章問題（１）】大小２つの自然数があります。この２つの自然数の差は３。２つの自然数の積は、２つの自然数の和を３倍し、１を加えたものに等しくなります。この２つの自然数を求めよ。二次方程式では決まったパターンの文章題が出題されます。「大小２つの自然数」というのもそのひとつ。解き方を覚えてしまいましょう。問題文を式にする数学の問題をムリヤリ日本語にすると、どうしても上の例題のように一読して「何、言ってるのかわからない」文になってしまいがちです。まずは、文章を式に直しましょう。『大小２つの自然数があります』記号にすることで後の文章を数式にしやすくします。大小２つの自然数「ｘ」、「ｙ」『この２つの自然数の差は３』差とは引き算の答えのこと。「ｘ」「ｙ」どっちを先にしてもＯＫです。ｘ−ｙ＝３『２つの自然数の積は、２つの自然数の和を３倍し、１を加えたものに等しくなります』積とはかけ算の答えのこと。和とは足し算の答えのことです。ｘｙ＝（ｘ＋ｙ）×３＋１整理すると、ｘｙ＝３（ｘ＋ｙ）＋１この問題で式にするときのポイントは日本語です。差…引き算の答え和…足し算の答え積…かけ算の答え「差」「和」「積」の意味を整理しておきましょう。方程式を解く以上で「ｘ」と「ｙ」に関する方程式が２つできました。ｘ−ｙ＝３ｘｙ＝３（ｘ＋ｙ）＋１あとは２つの方程式を解くだけ。「二次方程式じゃなくて連立方程式じゃん」と思うかもしれませんが、「ｘ−ｙ＝３」を「ｙ＝ｘ−３」として、もう一つの式に代入すると二次方程式が現れます。ｘｙ＝３（ｘ＋ｙ）＋１「ｙ＝ｘ−３」を代入して、ｘについて解くと、ｘ＝１、８文章題の勉強なので二次方程式の解き方は割愛します。余計なことに時間をかけないのも勉強を効率化するテクニックです。この「ｘ＝１、８」が文章題の答えではありません。「ｘ」は２つの自然数のひとつをあてはめたものです。もうひとつは「ｙ」です。ｙ＝ｘ−３をあてはめると、ｙ＝−２、５「ｘ」、「ｙ」それぞれは下記のとおりとなります。（ｘ、ｙ）＝（１、−２）、（８、５）最後の「ひっかけ」、整数か自然数か？例題では「大小２つの自然数があります」となっています。自然数には負の整数は含まれません。なので、ここでの答えは「８と５」です。問題文が「大小２つの整数があります」となっていれば「１と−２」も正解になります。問題文が「自然数」となっているか「整数」となっているかまで確認しましょう。ここで間違えるのはもったいないです。

二次方程式（文章題）【二次方程式の文章問題（２）】連続した３つの自然数がある。最も小さい数と真ん中の数の積は３つの数の和の２倍に等しい。この３つの自然数を求めよ。「連続した３つの自然数」が出てくる文章題も二次方程式では定番問題です。求めるのは３つの数なので、これをそれぞれ「ｘ」「ｙ」「ｚ」とする。…とやってしまうのはＮＧ。「連続した３つの自然数」はひとつの文字だけで表すことができます。覚えてますか？連続した３つの自然数文章題ではその中に出てくる言葉の意味を正確にとらえることが大切です。上の例題では「連続した３つの自然数」とあります。自然数とは、１，２，３…のような正の整数のことです。自然数には分数や小数は含まれません。ということは自然数では、ある数の次の数は元の数に「１」を足したものとなります。ある自然数を「ｘ」とすると、その次の自然数は「ｘ＋１」となるわけです。コレを使えば「連続した３つの自然数」をひとつの文字で表すことができます。代表的なのは２パターン。ア…「ｘ」、「ｘ＋１」、「ｘ＋２」イ…「ｘ−１」、「ｘ」、「ｘ＋１」最も小さい数を「ｘ」としたのが「ア」、真ん中の数字を「ｘ」としたのが「イ」です。「ア」と「イ」では３つの数字の和を表わすときに違いが出ます。ア…３ｘ＋３イ…３ｘ「イ」のほうがシンプルですよね。３つの数字の和が出てくるときは、こちｔらを使ったほうが式がカンタンになります。例題の文章を式にしてみる３つの自然数を「ｘ−１」、「ｘ」、「ｘ＋１」として例題の文章を式にしてみます。『最も小さい数と真ん中の数の積は３つの数の和の２倍に等しい。』（ｘ−１）×（ｘ）＝２×３ｘ整理すると、ｘ²−ｘ＝６ｘさらに整理して、ｘ²−７ｘ＝０ココまでくれば「ｘ＝７」とわかりますね。最後にケアレスミスに注意！今回は３つの自然数を「ｘ−１」、「ｘ」、「ｘ＋１」としました「ｘ＝７」というのは、真ん中の数が「７」ということです。なので、答えは６，７，８間違って、「７，８，９」と答えてしまわないようにしましょう。

二次方程式（文章題）【二次方程式の文章問題（３）】ある正の数に５を加えてから２乗すべきところを、間違えて５を加えて２倍してしまったところ本来の答えの６分の１の値となった。このある正の数を求めよ。「なに間違えてんだよ！」と言いたくなる問題ですよね。これも二次方程式の文章題では頻出です。難しい問題ではないので、サービス問題だと思って「間違えたヤツ」の尻ぬぐいをしましょう。問題文を式に変換この問題は問題文を順番に式にしていくのが解き方のコツです。求められているのは「ある正の数」なので、これを「ｘ」とします。『ある正の数に５を加えてから２乗すべきところを』すべきところという日本語には引っかからずに、文の内容を式にすればＯＫです。（ｘ＋５）²『間違えて５を加えて２倍してしまった』こちらも余計な日本語（間違えてなど）には惑わされずに式にします。（ｘ＋５）×２文字式なので変換しておきます。２（ｘ＋５）『本来の答えの６分の１の値となった。』これを式でどう表わすかがポイント。ここでは「本来の答え」と「間違えて計算した答え」を比較しています。（わからない人は国語の読解力に問題があります）「間違えて計算した答え」が「本来の答え」の「６分の１」というわけです。逆から言うと「間違えて計算した答え」を６倍すると「本来の答え」となります。コレを式にすると次のようになります。本来の答え＝６×間違えて計算した答え「本来の答え」と「間違えて計算した答え」はすでに文字式にしてあります（上記）。これをあてはめると、次の式が完成します。（ｘ＋５）²＝６×２（ｘ＋５）最後のケアレスミスに注意あとは２次方程式を解くだけ。ｘ＝７、−５が２次方程式の解です。ただし、２次方程式の解が答えとはなりません。問題文をよく読みましょう！「このある正の数を求めよ。」答えは「正の数」です。なので、２次方程式の解のうち「７」が正解となります。

素因数分解のやり方素因数分解のやり方を覚える前に、まず素数について知らなければなりません。まずは、定義を確認しましょう。【素数とは】素数とは、１と自分の二つしか約数を持たない自然数（１は素数ではない）。約数というのは割り切れる数のことです。例えば、４は１と自分（４）以外にも２で割りきれます。なので、４は素数ではありません。一方、５は１と自分（５）以外では割り切れません。なので、５は素数です。１から１００までで素数は２５個１から１００までだと素数は全部で２５個あります。下の図の赤字（２，３，５，７，１１…）が素数です。素因数分解とは素因数分解とは、その数を素数の積（かけ算）で表すことです。「１００を素因数分解せよ」とは、「１００を素数のかけ算で表せ」という意味です。素因数分解のやり方素因数分解のやり方は、素数で割っていくことで行います。例題で見てみます。【例題】８４０を素因数分解せよ。８４０を素数で割り、その答えをまた素数で割ります。できるだけ小さい素数で割るようにします。割れなくなるまで（最後が素数になるまで）コレを続けます。「割った数すべて」と「最後の答え（ここでは７）」のかけ算が答えとなります。答え．２³×３×５×７素因数分解で間違えやすいポイント素因数分解で間違いやすいのは、まだ割れるのに割るのをやめてしまうケースです。それでは正解になりません。これを見極めるポイントは最後の答えが素数かどうかということ。素数なら、もう割り切れませんが、素数以外なら割り切れます。この見極めができるようになるためには、素数を覚えておく必要があります。中学数学で取り扱う素数は、だいたい１００までぐらいです。１００までの素数表（下記）で覚えておきましょう。１００までの素数表１００までと言っても、よく出るのは２９ぐらいまでです。暗記しておきましょう。素因数分解の応用問題素因数分解を利用した典型的な応用問題に次のようなものがあります。【問題】２５２に自然数ａをかけたら、ある別の自然数の平方となった。最も小さい自然数ａを求めよ。この問題は素因数分解を利用して解くことができます。まず、２５２を素因数分解します。２５２＝２²×３²×７２５２には、６（２×３）の平方があり、残っているのは７です。これを平方にするには７をかければ良いことがわかります。答え．７（補足）２５２×７＝１７６４で４２の平方（４２×４２）となります。

因数分解での共通因数と二乗数の見つけ方因数分解のときに必要な共通因数と二乗になっている数の見つけ方の解説です。共通因数による因数分解因数分解の最初に出てくるのが「共通因数でくくる」という公式です。【問題】次の式を因数分解せよ。３ａ＋９ｂ＋２１この場合、３が共通因数となるので、３をカッコの外に出します。【解答】３（ａ＋３ｂ＋７）必要なのは数字の最大公約数をみつけること共通因数による因数分解で必要なのは数字の部分の最大公約数をみつけることです。因数分解の前の単元が、素因数分解になっているのはこのためです。素因数分解を使うことで、最大公約数を見つけることができます。ただし、すべての数字を素因数分解していたのでは時間がかかってしまいます。そこで、代表的な数字同士の最大公約数は覚えておくのが速く解くコツです。暗記しなくても下記の早見表を眺めておけば、テスト中のひらめきにつながります。表を眺めて、自分が見落としてしまいがちなところをチェックしておきましょう。最大公約数早見表グレーになっている部分は同じ組み合わせがあるところです。３１は、１２から３０には１より大きい最大公約数がないので省略しています。二乗による因数分解因数分解の公式に「二乗−二乗」があります。【因数分解の公式】ａ²−ｂ²＝（ａ＋ｂ）（ａ−ｂ）例えば下記のような問題です。【問題】次の式を因数分解せよ。ａ²−２５２５が５の二乗なので、答えは次のようになります。【解答】（ａ＋５）（ａ−５）二乗の数を見つけるこの問題を解くには数字が何かの数の二乗かどうかを判断しなければなりません。まずは１から２０までを二乗した数を覚えておきましょう。この数字にピンとくる感覚を持っておくことが大切です。１から２０までの二乗数二乗数元の数二乗数元の数1112111421441293169131641961425522515366256164972891764832418819361191001040020下１ケタから何の二乗かを推測する上では２０までの二乗数を掲載しましたが、大きな数になったときに知っておくと便利な法則があります。下一桁の数字で、何の二乗の可能性があるかが決まっているのです。自然数の場合にあてはまる法則です。中学の数学ではこれで十分です。下一桁が１の数字は、下一桁が１か９の二乗二乗数元の数二乗数元の数1181912111361194412184129961311521391681412401492601513481593721614761695041716241796561817921898281919801991020110111881109必ずなるわけではない下一桁が１の数字は必ず下一桁が１か９の二乗になるわけではありません。二乗になるなら元の数の下一桁は１か９という意味です（以降も同じ）。下一桁が４の数字は、下一桁が２か８の二乗二乗数元の数二乗数元の数42648144123241848422784281024321444381764422304482704523364583844624624685184726084786724827744888464929604981040410211664108下一桁が６の数字は、下一桁が４か６の二乗二乗数元の数二乗数元の数164366196142561657624676261156341296361936442116462916543136564096644356665476745776767056847396868836949216961081610411236106下一桁が９の数字は、下一桁が３か７の二乗二乗数元の数二乗数元の数93497169132891752923729271089331369371849432209472809533249573969634489675329735929776889837569878649939409971060910311449107下二桁が２５の数字は、下一桁が５の二乗二乗数元の数255225156252512253520254530255542256556257572258590259511025105整理すると次のようになります。二乗の数の見つけ方二乗数下一桁が　１→　元の数の下一桁は１か９二乗数下一桁が　４→　元の数の下一桁は２か８二乗数下一桁が　６→　元の数の下一桁は４か６二乗数下一桁が　９→　元の数の下一桁は３か７二乗数下二桁が２５→　元の数の下一桁は５上記以外の下一桁２，３，７，８は、自然数の二乗にはならない

因数分解での和と積の組み合わせ早見表因数分解の公式「ｘ²＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）」を解くために必要なのが、足して（ａ＋ｂ）になり、かけるとａｂになるａとｂを見つけることです。【例題】次の式を因数分解せよ。ｘ²＋４ｘ＋３上の例題なら、足すと「４」になり、かけると「３」になる２つの数字（ａとｂ）を見つけなくてはなりません。答えは「１と３」なので、（ｘ＋１）（ｘ＋３）となります。ただ、この数字の組み合わせを見つけるのが大変なんですよね。たくさん問題を解いて慣れるには、かなりの時間がかかってしまいます。そこで、足して●、かけて▲になる数字の組み合わせ早見表を作成しました。時間のあるときにこれを眺めて、どんな組み合わせがあるか覚えるようにしてください。すべて暗記する必要はありません。なんとなくでも覚えておけば、因数分解の問題を解くときに「あのあたりの数字かな」という手がかりになります。参考にしてみてください。因数分解で使える和と積の組み合わせ早見表中学数学の問題で出題されそうなものを掲載しています。和も積もプラスのパターン和積２つの数字の組み合わせ44225623682469337102571234812268153581644914279183692045101628102137102446102555111829112438112847113056122739123248123557133649134058144559積がマイナスになるパターン和積２つの数字の組み合わせ-3-4-41-2-3-31-1-2-21-1-12-430-4-220-16-441-12-341-20-452-8-242-15-352-24-463-10-253-18-363-28-474-12-264-21-374-32-485-14-275-24-385-36-496-16-286-27-397-18-29和がマイナスで積がプラスになるパターン和積２つの数字の組み合わせ-44-2-2-56-2-3-68-2-4-69-3-3-710-2-5-712-3-4-812-2-6-815-3-5-816-4-4-914-2-7-918-3-6-920-4-5-1016-2-8-1021-3-7-1024-4-6-1118-2-9-1124-3-8-1128-4-7-1227-3-9-1232-4-8-1336-4-9