一次関数（変化の割合）【例題：一次関数×変化の割合】ｘが３から７に増えたとき、ｙは−５から３まで増えました。このときの変化の割合を求めよ。一次関数の勉強では独特の用語がいくつか出てきます。「変化の割合」もそのひとつ。「変化の割合を求めよ」と言われても、意味がわからなければ求めようがないですよね。「増加量」など関連ワードとともに覚えておきましょう。変化の割合とは変化の割合とは、ｘの増加量に対するｙの増加量のこと。式にすると次のようになります。これだと増加量の意味がわからないと意味不明のままですよね。増加量とは、変化した値の量のことです。例題では「ｘが３から７に増えた」となっています。３から７に増えたので、変化したのは７−３＝４。この場合の増加量は「４」というわけです。減っていても増加量注意しないといけないのは変化した値が減っていても増加量ということです。「ｘが９から２に減った」ときの増加量は２−９＝−７。増加量は「−７」とマイナスがつきます。増加量の求め方＝変化後の値−変化前の値この式を覚えておきましょう。例題の解き方ここまでわかれば例題はカンタンに解けるハズです。まずは、ｘとｙの増加量を求めます。ｘの増加量＝７−３＝４ｙの増加量＝３−（−５）＝８マイナスがある場合（例題だとｙ）は符号に気をつけましょう！ｘとｙの増加量がわかればあとは式にあてはめるだけ。ｘが分母になることを間違えないようにしてください。答え．変化の割合＝２

一次関数（変域）【例題：一次関数×変域】３００ｍｌで満杯となる水槽にすでに６０ｍｌの水が入っている。ここに毎分３０ｍｌの水を水槽が満杯になるまで加えた。水を入れ始めてからｘ分後の水槽の水の量をｙとしたとき、水槽が満杯になるまでのｘとｙの変域を求めよ。長い文章題は、それだけで解く気がなくなる人もいるかもしれません。読みだけで疲れてしまう…みたいな。ただ、文章題は文章が長いほうが解くヒントも多いのでカンタンです。まずは言葉の意味を確認することから始めましょう。変域とは変域（へんいき）なんて言葉は日常生活では使わないですよね。数学でしか聞くことがないワードです。変域とは…変化できる領域のこと領域なんてわざとややこしそうな言葉を使ってますが範囲と同じ意味です。で、何が変化するかというと「ｘ」や「ｙ」です。つまり、変域を求めよというのは、「ｘ」や「ｙ」がどんな値となるかの範囲を求めよということです。なので、答えは「ココからココまで」というようになります。「ココからココまで」は不等式で表します。こんな（↓）感じです。１≦ｘ≦１０これが変域を求めよと言われたときの答え方です。例題の解き方長い文章の例題を確認していきます。文章が長いときはポイントを箇条書きにします。水槽…３００ｍｌで満杯、６０ｍｌ入っている毎分３０ｍｌの水を加えるｙ＝水を入れ始めてからｘ分後の水槽の水の量で、求めるのは「ｘ」と「ｙ」の変域です。まず最初に何分でこの水槽が満杯になるかを求めます。「３００ｍｌで満杯、６０ｍｌ入っている」ので、残りは２４０ｍｌ分。ここに「毎分３０ｍｌの水を加える」ので、２４０÷３０＝８分となります。この８分がｘ分後の「ｘ」の最大となります。最小は水を入れ始める前の「０」分。これが「ｘ」の変域となります。０≦ｘ≦８「ｙ」は「水を入れ始めてからｘ分後の水槽の水の量」のことです。「ｘ」が「０」のときは、「ｙ」も「０」ではありません！この問題では水槽にすでに６０ｍｌの水が入っています。なので、これが「ｙ」の最小値。最大値は満杯になったときなので、３００ｍｌですよね。「ｙ」の変域は次のようになります。６０≦ｙ≦３００以上となります。

一次関数（バネと重り）【例題：一次関数×バネと重り】下げたおもりの重さに比例するバネがあります。このバネに７ｇのおもりを下げると長さが２９ｃｍになり、１５ｇのおもりをつけると４５ｃｍになりました。ｘｇのおもりをつけたときのバネの長さをｙｃｍとして、ｙをｘの式で表しなさい。バネの長さとおもりの重さの関係についての問題は一次関数の文章題で定番となっています。考え方さえ知ってしまえばサービス問題といえるぐらいカンタンです。しっかり覚えておきましょう。おもりがないときのバネの長さを忘れずにまずは例題のポイントを書き出します。おもり７ｇ⇒バネ２９ｃｍおもり１５ｇ⇒バネ４５ｃｍおもり「ｘ」ｇ⇒バネ「ｙ」ｃｍ「ｙをｘの式で表しなさい。」というのは、「ｙ＝●ｘ＋●」の形にしなさいという意味です。これは一次関数の文章題で共通していますので、覚えておきましょう。おもりとバネの問題で忘れてはならないのは最初のバネの長さです。おもりを下げていないときもバネには長さがあります。おもり７ｇでバネの長さが２９ｃｍというのは、７ｇでバネが２９ｃｍ伸びたのではありません。ココを勘違いしないように！もともとのバネの長さから何センチか伸びて２９ｃｍになったということです。a：おもさ１ｇに対するバネの伸び、ｂ：もともとのバネの長さこの問題を解くときは、おもさ１ｇに対するバネの伸びを「a」、もともとのバネの長さを「ｂ」とするのがポイント。こうすると、おもり「ｘ」ｇ、バネ「ｙ」ｃｍが次のように表わせます。ｙ＝aｘ＋ｂ問題文から条件が２つ与えられています。おもり７ｇ⇒バネ２９ｃｍおもり１５ｇ⇒バネ４５ｃｍこれを「ｙ＝aｘ＋ｂ」にあてはめると、２９＝７a＋ｂ４５＝１５a＋ｂこの連立方程式を解きます。ｂ＝２９−７ａ４５＝１５a＋２９−７ａ１６＝８ａａ＝２２９＝１４＋ｂｂ＝１５あとはａ＝２、ｂ＝１５を式にあてはめればＯＫ。ｙ＝２ｘ＋１５これが答えとなります。

一次関数（水槽）【水槽が出てくる一次関数の文章問題】８０リットルで満水となる水槽にすでに１７リットルの水が入っています。ここに満水になるまで毎分９リットルの水を入れていきます。水を入れ始めてからｘ分後の水槽の水の量をｙリットルとしたとき、ｙをｘの式で表しなさい。水槽（すいそう）に水を溜めていくというのは一次関数の定番文章問題のひとつです。「蛇口が２つ」「排水もしている」などいろいろなパターンの問題がありますが、まずは上の例題で基本となる考え方を覚えておきましょう。図に書いて整理する水槽の問題が出たときはカンタンな図を書いてポイントを整理しましょう。上の例題であれば下記のような図になります。この問題でのポイントは３つです。８０リットルで満水もともと１７リットル入っている毎分９リットルの水が増えるで、問題文から「ｘ」と「ｙ」も整理します。「ｘ」　…　水を入れ始めてから何分後か「ｙ」　…　水槽の水の量１分後と２分後を考えるまず、水を入れ始めてから１分後の水の量を考えてみます。「もともと１７リットル」あるところに、「毎分９リットル」の水を入れるので、１７＋９＝２６リットルとなります。（毎分９リットルとは１分間で９リットルという意味です。）２分後は、「毎分９リットル」が２分間入ったので、９×２＝１８リットル。もともとあった１７リットルを足すと３５リットルとなります。「ｘ」と「ｙ」を表にすると下記のようになります。ｘ分後ｙリットル１２６２３５３４４……これを式にすれば答えとなります。式にする考え方ｘ分後の水の量とは、ｘ分間で増えた水の量＋もともと入っていた水の量となります。水槽から排水されていない場合はこうなります。しっかり覚えましょう。ｘ分後の水の量　＝　もともとの水の量　＋　ｘ分間で増えた（入れた）水の量「ｘ分後の水の量」とは「ｙ」のことです。なので、これに数字をあてはめれば「ｙ＝…」の式になります。もともとの水の量は問題文から１７リットルとわかります。ｘ分間で増えた（入れた）水の量も、「毎分９リットルの水が増える」から計算できます。「毎分９リットルの水が増える」とは「１分あたり９リットルの水が増える」という意味です。１分なら９×１＝９リットル２分なら９×２＝１８リットルｘ分なら９×ｘ＝９ｘリットルｘ分間で増えた（入れた）水の量とは「９ｘ」となります。以上で求めたものを下記の式にあてはめたのが答え。ｘ分後の水の量　＝　もともとの水の量　＋　ｘ分間で増えた（入れた）水の量答え．ｙ＝９ｘ＋１７（１７＋９ｘをｘを前にして入れかえています。）

一次関数（料金プラン）【電話料金プランが出てくる一次関数の文章問題】ある電話会社にはＡプランとＢプランの２つの料金プランがあります。Ａプランは基本料金（月額）が２４８０円で１分ごとの利用料が６円。Ｂプランは基本料金（月額）が９８０円で１分ごとの利用料が１０円です。基本料金（月額）は使用時間に関わらず毎月固定で必要となる金額です。１ヶ月でｘ分使用したときの月額料金をｙ円として、ＡプランＢプランそれぞれについてｙをｘの式で表しなさい。電話料金プランを一次関数の式にするというのも定番問題になっています。スマホ利用料など日常生活で馴染のあるモノを勉強にも取り入れようという意図があるのかもしれません。実際の料金プランは、家族割りなど条件がもっと複雑なのですが、中学数学の文章題で出てくるプランはシンプルです。ポイントを整理しておきましょう。長い文章題は表にするパッと見て上の文章題は文字だらけで長いですよね。文章を見ただけでイヤにならないでください。長い文章のほうが問題の中身はカンタンです。（文章が長いということは、問題を解くヒントが多いということだからです。）ただし、文章だけではポイントがつかめないので表にして整理しましょう。プラン基本料金１分あたり利用料Ａ２４８０円６円Ｂ９８０円１０円これで問題文がスッキリしました。ｘとｙが何を表わすかも問題文で定義されています。ｘ…１ヶ月の使用時間（分）ｙ＝ｘ分使用したときの月額料金（円）Ａプラン、Ｂプランそれぞれについて「ｙをｘの式で表しなさい」という問題です。まずはＡプランから。１分あたり利用料が６円なので、ｘ分使った場合は６ｘ円。これに固定の基本料金（２４８０円）を加えたものがＡプランでの月額料金となります。ｙ＝６ｘ＋２４８０これがＡプランについての答え。カンタンですよね。つづいてＢプラン。１分あたり利用料が１０円なので、ｘ分使った場合は１０ｘ円。基本料金は９８０円。ｙ＝１０ｘ＋９８０これがＢプランについての答えです。答え．Ａプラン…ｙ＝６ｘ＋２４８０、Ｂプラン…ｙ＝１０ｘ＋９８０連立方程式の解が意味するものは？Ａプラン、Ｂプラン２つの式ができましたが、これを連立方程式として見ると解が何を意味するか分かりますか？ｙ＝６ｘ＋２４８０ｙ＝１０ｘ＋９８０連立方程式として解くと、ｘ＝３７５、ｙ＝４７３０となります。ｘとｙが何を表わしていたか覚えていますか？ｘ…１ヶ月の使用時間（分）ｙ＝ｘ分使用したときの月額料金（円）つまり、３７５分使用したときの月額料金はＡプランでもＢプランでも４７３０円というわけです。同じ金額になる利用時間が連立方程式の解というわけです。覚えておきましょう。

一次関数（増加量）中学２年の一次関数で出てくる「増加量」は紛らわしい用語のひとつです。増加量なのに「増えている」とは限らないからです。用語から中学数学のポイントを覚える「増加量」まずは、次の問題を解いてみてください。【練習問題】一次関数「ｙ＝−３ｘ＋５」において、ｘが４から６まで変化したときのｙの増加量を求めよ。解き方としては、単純にｘが４のときと６のときのｙの値を求めます。ｘ＝４のときｙ＝−３（×４）＋５ｙ＝−１２＋５ｙ＝−７ｘ＝６のときｙ＝−３（×６）＋５ｙ＝−１８＋５ｙ＝−１３ｘが４から６まで変化したときのｙの値は−７から−１３に変化しています。「−７から−１３に」って減ってんじゃん！ と思いますよね。「増加量を求めよ！」との問いなのに減っています。ワケわからなくなりますよね。ただ、これは「解なし」でも問題文のミスプリでもありません。正負の数を思い出してみる中学１年の数学で「正負の数」を勉強したことを覚えていますか。１学期の最初に習う単元です。【正負の数の問題】「３時間前」を負の数を使って表しなさい。覚えてますか？答えは「−３時間後」です。日本語としてはヘンな表現方法なのですが、数学ではこれがアリなんです。正反対のことを符号を変えて表現するのです。「１０減少した」を「増加した」にするには符号を変えればいいというわけです。「−１０増加した」＝「１０減少した」です一次関数の「増加量」にもこの考え方を用います。練習問題の解答ｘが４から６まで変化したときのｙの値は−７から−１３に変化しました。増加量を求める式は次の通りです。【増加量を求める式】変化後の値−変化前の値この式に練習問題のｙの値をあてはめて計算します。−１３−（−７）＝−６これがｙの増加量です。答え．−６「−６増加した」というのは「６減少した」と同じ意味です。考えすぎて間違えてしまわないように「増加量を求めよ」だからマイナスが答えだとオカシイ…なんて考えてしまうのは間違い！日本語と数学での用語の使い方には違いがあります。混同しないように気をつけましょう。